НОФ 2024, II кръг (областен), 8. клас — Задача 1. Мотриса между две спирки на метрото

• 1.1. Графиката е трапец в координати $v$–$t$: равноускорителен участък с време $t_1$, равномерен с време $t_2$ и равнозакъснителен с време $t_3$, като наклонът на третия участък е по-стръмен от този на първия.
• 1.2. $v_1 = v_3 = \frac{v_2}{2} = \frac{s\,v_{\mathrm{ср}}}{2s - v_{\mathrm{ср}}t_{\mathrm{у}}}$

Решение 1.1. Движението на мотрисата може да се раздели на три части: равноускорително, равномерно и равнозакъснително. Графично те са представени на фигурата вдясно. (3 т.)$^{(1)}$ За да различаваме величините (изминат път – $s$, средна скорост – $v$, ускорение – $a$ и време на движение – $t$) отнасящи се за всяка една от трите части на движението, ще използваме долни индекси, съответно $1, 2$ и $3$. (1 т.)

$^{(1)}$ Точки за фигурата се дават ако графиката е трапец – (1 т.), ако са означени осите – (1 т.) ако ясно се вижда, че ускорението при спиране е по-голямо от това при тръгване – (1 т.).

Решение 1.2. Може да запишем законите за движение при ускорително движение в общ вид и да ги приложим за всяка част от движението на мотрисата: $s = s_0 + v_0t \pm at^2/2$ (0.5 т.) (1); $v = v_0 \pm at$ (0.5 т.) (2).

Знакът „+“, пред ускорението $a$, отговаря на равноускорително движение, знакът „−“ отговаря на равнозакъснително движение, а ако когато движението е равномерно използваме, че $a = 0$. Във всички случай може да изберем отправната система така, че $s_0 = 0$. (0.5 т.)

Началната и крайната скорости на мотрисата е нула, тогава от (1) може да запишем $s_1 = a_1t_1^2/2$, от (2) следва, че $v = a_1t$ или при $t = t_1$, $v = a_1t_1 = v_2$. За средната скорост в първата част получаваме $v_1 = s_1/t_1 = a_1t_1^2/(2t_1) = a_1t_1/2 = v_2/2$. (1.5 т.) Аналогично може да получим и средната скорост за третата част – $v_3 = s_3/t_3 = a_3t_3/2 = v_2/2$. (1 т.) Така получаваме, че $v_1 = v_3 = v_2/2$, където $v_2$ е скоростта на движение във втория участък, когато $a = 0$. Сега остава да изразим тази скорост чрез известните величини от условието на задачата – $s, v_{\mathrm{ср}}$ и $t_{\mathrm{у}}$. Средната скорост $v_{\mathrm{ср}}$ за цялото време на движение е:

(0.5 т.), откъдето намираме $v_2 = \dfrac{s}{s/v_{\mathrm{ср}} - t_{\mathrm{у}}/2} = \dfrac{2sv_{\mathrm{ср}}}{2s - v_{\mathrm{ср}}t_{\mathrm{у}}}$. (0.5 т.)

Окончателно за средните скорости по време на ускорителното движение получаваме $v_1 = v_3 = v_2/2 = sv_{\mathrm{ср}}/(2s - v_{\mathrm{ср}}t_{\mathrm{у}})$. (1 т.)

Забележка: тази част от задачата може да се реши и като се използва фигурата по-горе, от която да се определи изминатият път като площта на трапец със основи $t_2$, $t_1 + t_2 + t_3$ и височина $v_2$. Средната скорост $v$ може да се пресметне като получената площ се раздели на цялото време на движение – голяма основа на трапеца. За това и други алтернативни решения се дават същия брой точки (6 т.).