НОФ 2024, II кръг (областен), 8. клас — Задача 3. Топчета от 27-етажен блок

• 3.1. $n^2 \le 27 \Rightarrow n_{\max} = 5;\quad \Delta t = \sqrt{\frac{2\Delta h}{g}} = \sqrt{3/5}\ \mathrm{s} \approx 0.77\ \mathrm{s}$

  Броят топчета е 5; етажите са $1, 4, 9, 16$ и $25$; $\Delta t \approx 0{,}77\ \mathrm{s}$ (допустимо отклонение $0{,}01\ \mathrm{s}$).

• 3.2. $H = \frac{3gt^2}{2} = 9\Delta h = 27\ \mathrm{m}$

Решение 3.1. Ако звукът, който се чува, при падане на топчетата има равномерен ритъм, то топчетата падат през равни интервали от време – $\Delta t$. (1 т.) Нека първото топче пада за време $t$, всяко следващо ще пристига след време $\Delta t$ или времето за падане на $n$-то топче ще е $t + (n-1)\Delta t$. (1 т.) Искаме да пуснем възможно най-много топчета, така че времето $t$ за падане на първото топче трябва да е минимално, това ще е така ако го пуснем от първия етаж. (1 т.) Като използваме, че топчетата нямат начална скорост и падат с ускорение $g$ може да пресметнем, че $h_1 = \Delta h = g\Delta t^2/2$, а $h_n = g(n\Delta t)^2/2 = n^2\Delta h$. (1 т.) В случая $n^2 \le 27$ или може да пуснем пет топчета (1 т.) от етажи – $1, 4, 9, 16$ и $25$. (1 т.) Времето между ударите ще е $\Delta t = \sqrt{2\Delta h/g} = \sqrt{2\cdot 3/10}\ \mathrm{s} = \sqrt{3/5}\ \mathrm{s} \approx 0.77\ \mathrm{s}$. (1 т.)

Решение 3.2. Сега трябва да разгледаме топчета пускани през еднакъв интервал от време, нека го означим с $t$. Ако първото топче стига земята когато четвъртото започва да пада означава, че времето на полет на топчето е $3t$, тогава може да запишем $27\Delta h = g(3t)^2/2$. (1 т.) Времето на полет на второто топче ще е $2t$, а това на третото $t$ или търсената разлика ще е $H = g(2t)^2/2 - gt^2/2 = 3gt^2/2$. (1 т.) Като изразим и заместим $t$, получаваме – $H = 3g6\Delta H/(2g) = 9\Delta h = 27\ \mathrm{m}$. (1 т.)