Съдържание

Условие Отговори Решение

НОФ 2024, II кръг (областен), 9. клас — Задача 3. Потопени тела в течност

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2024

Олимпиада по физика 2024, областен кръг — тема за 9. клас (трета състезателна група) · 18 февруари 2024 г. · 10 т.

Условие

А. На фиг. 2 е показан куб, потопен в течност с плътност $\rho$ . Определете силата, с която течността действа на:

а) горната хоризонтална стена; [1 т.]

б) долната хоризонтална стена; [1 т.]

в) всяка една от вертикалните стени;*

Съд с течност, в която е потопен куб с ръб a; дълбочината на долната стена на куба под свободната повърхност е означена с h. — Фиг. 2. Куб с ръб $a$ , потопен в течност; долната му стена е на дълбочина $h$ .

*Указание към т. в). Действието на променящото се с дълбочината хидростатично налягане е еквивалентно на постоянно средно налягане $p_{\mathrm{ср}}$ , което може да определите, като използвате аналогия със средната скорост при равноускорително движение. [1,5 т.]

г) целия куб. [1 т.]

Б. В цилиндричен съд са налети две несмесващи се течности съответно с плътности $\rho_1$ и $\rho_2$ . В течностите е потопен куб с дължина на ръба $a$ и с плътност $\rho$ (фиг. 3).

Цилиндричен съд с два слоя несмесващи се течности; куб с ръб a плава на границата между тях, частично потопен в долната течност. — Фиг. 3. Куб с ръб $a$ на границата между двете несмесващи се течности.

Намерете дълбочината $x$ на потопяване на куба в течността с плътност $\rho_2$ , ако плътностите удовлетворяват неравенствата $\rho_1 < \rho < \rho_2$ . [5,5 т.]

Отговори

Решение

А. а) Налягането на течността върху горната хоризонтална стена е

p_1 = \rho g(h - a).

[0,5 т.]

Тогава силата, с която течността действа на стената, има посока надолу и големина

F_1 = p_1 a^2 = \rho g(h - a)a^2.

[0,5 т.]

б) На нивото на долната стена хидростатичното налягане е

p_2 = \rho g h.

[0,5 т.]

Тогава силата, действаща на долната стена, има посока нагоре и големина

F_2 = p_2 a^2 = \rho g h a^2.

[0,5 т.]

в) Налягането върху вертикална стена се изменя от $p_1$ до $p_2$ и е пропорционално на дълбочината от $h - a$ до $h$ . То може да бъде заменено със средната му стойност

p_{\mathrm{ср}} = \frac{p_1 + p_2}{2} = \rho g\left(h - \frac{a}{2}\right).

[1 т.]

Тогава силата е насочена от течността към стената и има големина

F_3 = p_{\mathrm{ср}} a^2 = \rho g\left(h - \frac{a}{2}\right)a^2.

[0,5 т.]

г) Първоначално ще отчетем, че силите върху всеки две противоположни вертикални стени се уравновесяват. Тогава резултантната сила, действаща на куба, е насочена нагоре и има големина

F = F_2 - F_1 = \rho g a^3.

[1 т.]

Б. Течността с плътност $\rho_1$ се разполага над тази с плътност $\rho_2$ . [0,5 т.] Ще означим с $x$ дълбочината на потопяване на куба в течността 2, а с $h$ – дебелината на слоя течност 1. На горната стена на куба действа сила

F_1 = \rho_1 g(h - a + x)a^2,

[1 т.]

насочена надолу. Върху долната стена действа сила

F_2 = \rho_1 g h a^2 + \rho_2 g x a^2,

[1 т.]

насочена нагоре. Освен това във вертикална посока на куба действа и силата на тежестта

G = \rho g a^3,

[1 т.]

насочена надолу. От условието за равновесие на куба

F_2 - G - F_1 = 0,

[1 т.]

следва

x = \frac{\rho - \rho_1}{\rho_2 - \rho_1}\,a.

[1 т.]

Оригинал в Архива: NOF2_2024_9problems.pdf · официални решения: NOF2_2024_9solutions.pdf