НОФ 2024, III кръг (национален), 11–12 клас — Задача 1. Гюлетласкач

Национална олимпиада по физика 2024, национален кръг, V състезателна група (11.-12. клас) · 29 март 2024 г. · 15 т.

Условие

Физични константи, които можете да използвате във всички задачи:

Земно ускорение	$g = 9{,}81\ \mathrm{m.s^{-2}}$
Гравитационна константа	$\gamma = 6{,}67 \cdot 10^{-11}\ \mathrm{m^3.kg^{-1}.s^{-2}}$
Маси на частиците: електрон	$m_\mathrm{e} = 9{,}109 \cdot 10^{-31}\ \mathrm{kg}$
Маси на частиците: протон	$m_\mathrm{p} = 1{,}673 \cdot 10^{-27}\ \mathrm{kg}$
Маси на частиците: неутрон	$m_\mathrm{n} = 1{,}675 \cdot 10^{-27}\ \mathrm{kg}$
Елементарен електричен заряд	$e = 1{,}60 \cdot 10^{-19}\ \mathrm{C}$
Константа на Кулон	$k_\mathrm{C} = 9{,}00 \cdot 10^{9}\ \mathrm{N.m^2.C^{-2}}$
Електрична константа	$\varepsilon_0 = 1/4\pi k_\mathrm{C} \approx 8{,}85 \cdot 10^{-12}\ \mathrm{F.m^{-1}}$
Магнитна константа	$\mu_0 = 4\pi \cdot 10^{-7}\ \mathrm{T.m.A^{-1}}$
Скорост на светлината	$c = 3{,}00 \cdot 10^{8}\ \mathrm{m.s^{-1}}$
Константа на Планк	$h = 6{,}63 \cdot 10^{-34}\ \mathrm{J.s}$
Редуцирана константа на Планк	$\hbar = h/(2\pi) = 1{,}05 \cdot 10^{-34}\ \mathrm{J.s}$
Атомна единица за маса	$1\ \mathrm{u} = 1{,}66 \cdot 10^{-27}\ \mathrm{kg} = 931{,}5\ \mathrm{MeV.c^{-2}}$
Универсална газова константа	$R = 8{,}31\ \mathrm{J.mol^{-1}K^{-1}}$
Число на Авогадро	$N_\mathrm{A} = 6{,}02 \cdot 10^{23}\ \mathrm{mol^{-1}}$
Константа на Болцман	$k_\mathrm{B} = R/N_\mathrm{A} = 1{,}38 \cdot 10^{-23}\ \mathrm{J.K^{-1}}$
Константа на Ридберг	$R_\mathrm{H} = 1{,}097 \cdot 10^{7}\ \mathrm{m^{-1}}$

Гюлетласкач хвърля гюле от височина $\mathrm{h}$ над земята под ъгъл $\theta$ спрямо хоризонта.

Упътване: Използвайте, че $\mathrm{tg\,x} \approx \sin \mathrm{x} \approx \mathrm{x}$, ако $|\mathrm{x}| \ll 1\ \mathrm{rad}$ и $\left(1+\mathrm{x}\right)^{\alpha} \approx 1+\alpha \mathrm{x}$, ако $|\mathrm{x}| \ll 1$.

а) Ако приемете, че $\mathrm{h} = 0\ \mathrm{m}$, докажете, че максималната далечина на полета се получава при ъгъл на хвърляне $\theta_0 = 45^\circ$. [4 т.]

б) Намерете оптималния ъгъл на хвърляне $\theta_1$ за максимална далечина на полета, ако $\mathrm{h} \neq 0\ \mathrm{m}$. Докажете, че при $v_0^2 \gg 2\mathrm{gh}$, $\theta_1 \approx \theta_0$. [6 т.]

в) Нека е изпълнено условието $v_0^2 \gg 2\mathrm{gh}$. Тогава $\theta_1 = \theta_0 + \delta$, където $\delta \ll 1\ \mathrm{rad}$. Намерете приблизителен израз за $\delta$ и пресметнете $\theta_1$ в градуси, в случай, че $\mathrm{h} = 2\ \mathrm{m}$ (обикновено гюлетласкачите са високи хора!) и $v_0 = 14\ \mathrm{m/s}$. [5 т.]

Отговори

Решение

---

Оригинал в Архива: 11-12_th_zad.pdf · официални решения: 11-12_th_resh.pdf