НОФ 2024, III кръг (национален), 11–12 клас, файл 11-12_th_zad.pdf — Задача 3. Поглъщане в звездните атмосфери

• а) Четири линии — от серията на Балмер ($m = 2$): $\lambda = 656\ \mathrm{nm}$ ($n = 3$), $486\ \mathrm{nm}$ ($n = 4$), $434\ \mathrm{nm}$ ($n = 5$) и $410\ \mathrm{nm}$ ($n = 6$).

• б) $E_\mathrm{ion} = h\nu_\mathrm{ion} = \frac{hc}{\lambda_\mathrm{ion}} = hcR_\mathrm{H} \approx 2{,}182 \cdot 10^{-18}\ \mathrm{J}\ (13{,}63\ \mathrm{eV})$

  $\lambda_\mathrm{ion} = 1/R_\mathrm{H} \approx 91{,}2\ \mathrm{nm}$ — ултравиолетово лъчение.

• в) $v = \sqrt{\frac{3k_\mathrm{C}e^2}{4m_\mathrm{e}r}}$

• г) $r_n = \frac{4n^2\hbar^2}{3m_\mathrm{e}k_\mathrm{C}e^2}$

• д) $E_1 = -\frac{9m_\mathrm{e}k_\mathrm{C}^2e^4}{16\hbar^2} = -2{,}455 \cdot 10^{-18}\ \mathrm{J} = -15{,}34\ \mathrm{eV}$

  В джаули: $-2{,}455 \cdot 10^{-18}\ \mathrm{J}$.

• е) $E_\mathrm{dis} = h\nu_\mathrm{dis} = \left(-E_1\right) - h\nu_\mathrm{ion} = 2{,}73 \cdot 10^{-19}\ \mathrm{J} = 1{,}70\ \mathrm{eV}$

  $\lambda_\mathrm{dis} = hc/E_\mathrm{dis} \approx 729\ \mathrm{nm}$ — фотон от инфрачервената част на спектъра.

а) Дължината на вълната на фотон, погълнат от водородния атом при преход от състояние $m$ към състояние $n$ ($n > m$), се дава с формулата на Ридберг:

$(1)\qquad \dfrac{1}{\lambda} = R_\mathrm{H}\left(\dfrac{1}{m^2} - \dfrac{1}{n^2}\right).$ [0,5 т]

Видима светлина се поглъща/излъчва само в серията на Балмер, за която $m = 2$. [0,5 т]

Чрез заместване на различни стойности на $n$ във формулата на Ридберг установяваме, че видима светлина, т.е. в интервала 400 nm – 700 nm, се поглъща само за четири линии:

б) Йонизирането на атома съответства на преход на електрона от най-ниската орбита с $m = 1$ към орбита с $n \to \infty$. Дължината на вълната на фотон, който йонизира атома, е:

$(2)\qquad \lambda_{\mathrm{i}on} = \dfrac{1}{R_\mathrm{H}} \approx 91{,}2\ \mathrm{nm},$ [0,5 т]

т.е. съответства на ултравиолетово лъчение. Съответната енергия на фотона, т.е. енергията на йонизация на атома, е:

$(3)\qquad E_\mathrm{ion} = h\nu_\mathrm{ion} = \dfrac{hc}{\lambda_\mathrm{ion}} = hcR_\mathrm{H} \approx 2{,}182 \cdot 10^{-18}\ \mathrm{J}\ (13{,}63\ \mathrm{eV})$ [0,5 т]

в) Всеки от електроните има нормално ускорение:

$(4)\qquad a = \dfrac{v^2}{r}.$ [0,5 т]

Центростремителната сила върху даден електрон е равнодействаща на силата:

$(5)\qquad F_\mathrm{п} = \dfrac{k_\mathrm{C}e^2}{r^2}$ [0,5 т]

на привличане към протона в ядрото и силата:

$(6)\qquad F_\mathrm{о} = \dfrac{k_\mathrm{C}e^2}{(2r)^2} = \dfrac{k_\mathrm{C}e^2}{4r^2}$ [0,5 т]

на отблъскване от другия електрон. От II принцип на механиката получаваме:

$(7)\qquad \dfrac{m_\mathrm{e}v^2}{r} = F_\mathrm{п} - F_\mathrm{о} = \dfrac{3k_\mathrm{C}e^2}{4r^2},$ [0,5 т]

откъдето намираме търсената връзка:

$(8)\qquad v = \sqrt{\dfrac{3k_\mathrm{C}e^2}{4m_\mathrm{e}r}}.$ [0,5 т]

г) Дължината на вълната на дьо Бройл на даден електрон е:

$(9)\qquad \lambda = \dfrac{h}{m_\mathrm{e}v}.$ [0,5 т]

За стационарните (разрешените) орбити е в сила:

$(10)\qquad 2\pi r = n\lambda,$ [1,0 т]

откъдето изразяваме:

$(11)\qquad v = \dfrac{n\hbar}{m_\mathrm{e}r}.$

Заместваме получения израз за скоростта в уравнение (4) и получаваме:

$(12)\qquad \dfrac{n\hbar}{m_\mathrm{e}r} = \sqrt{\dfrac{3k_\mathrm{C}e^2}{4m_\mathrm{e}r}}.$

След като повдигнем двете страни на квадрат, намираме израз за радиусите на стационарните орбити:

$(13)\qquad r_n = \dfrac{4n^2\hbar^2}{3m_\mathrm{e}k_\mathrm{C}e^2}.$ [1,0 т]

д) Радиусът на най-ниската орбита се получава при $n = 1$:

$(14)\qquad r_1 = \dfrac{4\hbar^2}{3m_\mathrm{e}k_\mathrm{C}e^2}.$

Скороста на електрона върху първата орбита намираме от уравнение (11):

$(15)\qquad v_1 = \dfrac{3k_\mathrm{C}e^2}{4\hbar}.$

и получаваме израз за общата кинетична енергия на на двата електрона:

$(16)\qquad E_{\kappa 1} = 2 \times \dfrac{m_\mathrm{e}v_1^2}{2} = \dfrac{9m_\mathrm{e}k_\mathrm{C}^2e^4}{16\hbar^2}.$ [1,0 т]

Общата потенциална енергия на системата включва енергия на взаимодействие на двата електрона с ядрото:

$(17)\qquad W_{\mathrm{e-я}} = \dfrac{2k_\mathrm{C}(3e)(-e)}{r_1} = -\dfrac{6m_\mathrm{e}k_\mathrm{C}^2e^4}{4\hbar^2}$ [0,5 т]

и енергия на взаимодействие между самите електрони:

$(18)\qquad W_{\mathrm{e-e}} = \dfrac{k(-e)(-e)}{2r_1} = \dfrac{3m_\mathrm{e}k_\mathrm{C}^2e^4}{8\hbar^2},$ [0,5 т]

така че пълната енергия на атома е:

$(19)\qquad E_1 = E_\kappa + W_{e-я} + W_{e-e} = -\dfrac{9m_\mathrm{e}k_\mathrm{C}^2e^4}{16\hbar^2}.$ [1,0 т]

Числената стойност е съответно:

$(20)\qquad E_1 = -2{,}455 \cdot 10^{-18}\ \mathrm{J} = -15{,}34\ \mathrm{eV}.$ [1,0 т]

е) Нулева енергия за водородния йон съответства на състояние, в което двата електрона се намират на безкрайно голямо разстояние от ядрото. Ако водородният йон се намира в основното си състояние, състояние с нулева енергия може да се получи чрез две последователни стъпки: 1) поглъщане на фотон с енергия $h\nu_\mathrm{dis}$, който дисоциира йона до неутрален атом и свободен електрон и 2) йонизиране на неутралния водороден атом. Следователно:

$(21)\qquad E_1 + h\nu_\mathrm{dis} + h\nu_\mathrm{ion} = 0,$ [1,0 т]

откъдето намираме търсената енергия на дисоциация:

$(22)\qquad E_\mathrm{dis} = h\nu_\mathrm{dis} = \left(-E_1\right) - h\nu_\mathrm{ion} = 2{,}73 \cdot 10^{-19}\ \mathrm{J} = 1{,}70\ \mathrm{eV}.$ [0,5 т]

Съответната дължина на вълната на фотона е:

$(22)\qquad \lambda_\mathrm{dis} = \dfrac{c}{\nu_\mathrm{dis}} = \dfrac{hc}{E_\mathrm{dis}} \approx 729\ \mathrm{nm},$ [0,5 т]

т.е. това е фотон от инфрачервената част на спектъра. Всички фотони с по-малка дължина на вълната, т.е. във видимия диапазон, ще се поглъщат от водородните йони, като ги дисоциират.