НОФ 2024, III кръг (национален), 11–12 клас — Задача 4. Галилеев телескоп и съвременен бинокъл

Национална олимпиада по физика 2024, национален кръг, V състезателна група (11.-12. клас) · 29 март 2024 г. · 15 т.

Условие

Галилеев телескоп (далекогледна тръба) е съставен от събирателна леща с фокусно разстояние $f_\mathrm{об}$ за обектив и разсейвателна леща с фокусно разстояние $f_\mathrm{ок}$ за окуляр. Всички получени резултати онагледете с подходящи чертежи.

а) Колко е разстоянието $d$ между двете лещи? [1 т.]

б) Ако ъгълът между две звезди на небето е $\alpha$, то ъгълът между техните образи, гледани през телескопа, е $\beta$. Отношението $\Gamma = \beta/\alpha$ се нарича ъглово увеличение на телескопа.

Колко е $\Gamma$? [1.5 т]

Колко е оптичната сила $\Phi$ на телескопа? [2,5 т.]

в) Ако за Галилеев телескоп са дадени $d$ и $\Gamma$, изразете чрез тях $f_\mathrm{об}$ и $f_\mathrm{ок}$. [1 т.]

г) Оригиналният телескоп на Галилей е имал дължина на тръбата $d = 932\ \mathrm{mm}$ и увеличение $\Gamma = 20{,}4 \times$. Изчислете фокусните разстояния $f_\mathrm{об}$ на обектива и $f_\mathrm{ок}$ на окуляра. [1 т.]

д) Когато око гледа през окуляра на оригиналния телескоп на Галилей, диаметърът на зеницата е $l = 5\ \mathrm{mm}$. Колко е максималният диаметър $D$ на лещата на обектива, така че всички лъчи, които влизат през него, да влизат и в зеницата? [1 т.]

е) 1) Телескопът на Галилей е настроен така, че да се вижда ясно на „безкрайност“. На какво разстояние $x$ трябва да се измести окуляра и в каква посока, така че да се виждат ясно предмети на разстояние $s = 50\ \mathrm{m}$. Изчислете $x$ в два случая:

1. образите на предметите са на безкрайност; [1 т.]

е) 2) 2) образите на предметите са на същото разстояние, като самите предмети. [2,5 т.]

ж) Съвременните бинокли не са Галилееви телескопи, а техният окуляр също е събирателна леща (или няколко лещи за намаляване на аберациите, вж. фигурата). Тогава обаче би се наблюдавал обърнат образ. За да се „изправи“ образът едно възможно решение е между обектива и окуляра да се вмъкнат така наречените „призми на Поро“ (вж. фигурата). Това са две идентични правоъгълни равнобедрени призми. Те са ориентирани така, че ръбовете при върховете им да са перпендикулярни. Обяснете работата на тези призми, ако предположите че на първата пада успореден сноп с напречно сечение под формата на буквата F. Нарисувайте на фигурата как изглежда тази буква след преминаване през първата призма (т.е. между двете призми) и как изглежда след преминаване през втората призма. [1 т.]

з) Наличието на много елементи в бинокъла ще доведе до много нежелани отражения от повърхностите на всички елементи в него и появата на много допълнителни „паразитни образи“ и „паразитен светлинен фон“. Това може частично да се потисне, ако всички повърхности на елементите (те всички са от стъкло с показател на пречупване $n$) се покрият с подходящ тънък слой с дебелина $h$ от вещество с показател на пречупване $n^{\,\prime}$, така че отраженията на границата въздух - слой и на границата слой – стъкло взаимно да се потиснат в резултат на деструктивна интерференция. Намерете формули за $h$ и $n^{\,\prime}$ при следните предположения: 1. Всички повърхности са плоски; 2. Светлината пада перпендикулярно на повърхностите; 3. Коефициентът на отражение $R$ между две среди с показатели на пречупване $n_1$ и $n_2$ е $R = \left(\dfrac{n_2-n_1}{n_2+n_1}\right)^2$; 4. Този коефициент $R \ll 1$ и на двете повърхности на тънкия слой; 5. Повърхностите се осветяват с монохроматична светлина с дължина на вълната $\lambda$. [2,5 т]

Изчислете минималната дебелина $h^{\,\prime}$ и показателя на пречупване $n^{\,\prime}$ при $n = 1{,}50$ и $\lambda = 580\ \mathrm{nm}$. [3 т.]

и) Всички съвременни бинокли имат такива противоотражателни покрития. Повърхностите на лещите им обаче изглеждат странно оцветени в червено-виолетов нюанс. Обяснете качествено причината за това оцветяване? [1 т.]

Отговори

Решение

Оригинал в Архива: 11-12_th_zad.pdf · официални решения: 11-12_th_resh.pdf