Съдържание

НОФ 2024, III кръг (национален), 11–12 клас, файл 11-12_th_zad.pdf — Задача 4. Галилеев телескоп и съвременен бинокъл

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2024

Национална олимпиада по физика 2024, национален кръг, V състезателна група (11.-12. клас) · 29 март 2024 г. · 15 т.

Условие

Галилеев телескоп (далекогледна тръба) е съставен от събирателна леща с фокусно разстояние $f_\mathrm{об}$ за обектив и разсейвателна леща с фокусно разстояние $f_\mathrm{ок}$ за окуляр. Всички получени резултати онагледете с подходящи чертежи.

а) Колко е разстоянието $d$ между двете лещи? [1 т.]

б) Ако ъгълът между две звезди на небето е $\alpha$ , то ъгълът между техните образи, гледани през телескопа, е $\beta$ . Отношението $\Gamma = \beta/\alpha$ се нарича ъглово увеличение на телескопа.

Колко е $\Gamma$ ? [1.5 т]

Колко е оптичната сила $\Phi$ на телескопа? [2,5 т.]

в) Ако за Галилеев телескоп са дадени $d$ и $\Gamma$ , изразете чрез тях $f_\mathrm{об}$ и $f_\mathrm{ок}$ . [1 т.]

г) Оригиналният телескоп на Галилей е имал дължина на тръбата $d = 932\ \mathrm{mm}$ и увеличение $\Gamma = 20{,}4 \times$ . Изчислете фокусните разстояния $f_\mathrm{об}$ на обектива и $f_\mathrm{ок}$ на окуляра. [1 т.]

д) Когато око гледа през окуляра на оригиналния телескоп на Галилей, диаметърът на зеницата е $l = 5\ \mathrm{mm}$ . Колко е максималният диаметър $D$ на лещата на обектива, така че всички лъчи, които влизат през него, да влизат и в зеницата? [1 т.]

е) 1) Телескопът на Галилей е настроен така, че да се вижда ясно на „безкрайност“. На какво разстояние $x$ трябва да се измести окуляра и в каква посока, така че да се виждат ясно предмети на разстояние $s = 50\ \mathrm{m}$ . Изчислете $x$ в два случая:

образите на предметите са на безкрайност; [1 т.]

е) 2) 2) образите на предметите са на същото разстояние, като самите предмети. [2,5 т.]

ж) Съвременните бинокли не са Галилееви телескопи, а техният окуляр също е събирателна леща (или няколко лещи за намаляване на аберациите, вж. фигурата). Тогава обаче би се наблюдавал обърнат образ. За да се „изправи“ образът едно възможно решение е между обектива и окуляра да се вмъкнат така наречените „призми на Поро“ (вж. фигурата). Това са две идентични правоъгълни равнобедрени призми. Те са ориентирани така, че ръбовете при върховете им да са перпендикулярни. Обяснете работата на тези призми, ако предположите че на първата пада успореден сноп с напречно сечение под формата на буквата F. Нарисувайте на фигурата как изглежда тази буква след преминаване през първата призма (т.е. между двете призми) и как изглежда след преминаване през втората призма. [1 т.]

з) Наличието на много елементи в бинокъла ще доведе до много нежелани отражения от повърхностите на всички елементи в него и появата на много допълнителни „паразитни образи“ и „паразитен светлинен фон“. Това може частично да се потисне, ако всички повърхности на елементите (те всички са от стъкло с показател на пречупване $n$ ) се покрият с подходящ тънък слой с дебелина $h$ от вещество с показател на пречупване $n^{\,\prime}$ , така че отраженията на границата въздух - слой и на границата слой – стъкло взаимно да се потиснат в резултат на деструктивна интерференция. Намерете формули за $h$ и $n^{\,\prime}$ при следните предположения: 1. Всички повърхности са плоски; 2. Светлината пада перпендикулярно на повърхностите; 3. Коефициентът на отражение $R$ между две среди с показатели на пречупване $n_1$ и $n_2$ е $R = \left(\dfrac{n_2-n_1}{n_2+n_1}\right)^2$ ; 4. Този коефициент $R \ll 1$ и на двете повърхности на тънкия слой; 5. Повърхностите се осветяват с монохроматична светлина с дължина на вълната $\lambda$ . [2,5 т]

Разрез на бинокъл, показващ хода на лъча през обектива, двете призми на Поро и окуляра. — Разрез на съвременен бинокъл с означени обектив (*Objective*), призми на Поро (*Porro prisms*) и окуляр (*Eyepiece*).

Две прозрачни призми, разположени под прав ъгъл една спрямо друга, с лъч, означен с буквата F. — Двете идентични правоъгълни равнобедрени призми на Поро с взаимно перпендикулярни ръбове; входящият сноп има напречно сечение във формата на буквата F.

Изчислете минималната дебелина $h^{\,\prime}$ и показателя на пречупване $n^{\,\prime}$ при $n = 1{,}50$ и $\lambda = 580\ \mathrm{nm}$ . [3 т.]

и) Всички съвременни бинокли имат такива противоотражателни покрития. Повърхностите на лещите им обаче изглеждат странно оцветени в червено-виолетов нюанс. Обяснете качествено причината за това оцветяване? [1 т.]

Отговори

а) $d = f_\mathrm{об} - f_\mathrm{ок}$
б) $\Gamma = \frac{\beta}{\alpha} = \frac{f_\mathrm{об}}{f_\mathrm{ок}},\qquad \Phi = 0$
в) $f_\mathrm{ок} = \frac{d}{\Gamma - 1},\qquad f_\mathrm{об} = \frac{\Gamma d}{\Gamma - 1}$
г) $f_\mathrm{об} \approx 980\ \mathrm{mm},\qquad f_\mathrm{ок} \approx 48{,}0\ \mathrm{mm}$

Фокусното разстояние на окуляра е $f_\mathrm{ок} \approx 48{,}0\ \mathrm{mm}$ .
д) $D = l\frac{f_\mathrm{об}}{f_\mathrm{ок}} = 102\ \mathrm{mm}$
е) 1) $x = \frac{f_\mathrm{об}^{\,2}}{s - f_\mathrm{об}} \approx 19{,}6\ \mathrm{mm}$

Окулярът ще се отдалечи от обектива.
е) 2) $x^2 + 50864x - 1015376 = 0 \Rightarrow x \approx 20{,}0\ \mathrm{mm}$

$x$ е в mm; взема се положителният корен.
з) $n^{\,\prime} = \sqrt{n} \approx 1{,}22,\qquad h_k = \frac{(k+1/2)\lambda}{2n^{\,\prime}},\qquad h^{\,\prime} \approx 118\ \mathrm{nm}$

Показателят на пречупване на слоя е $n^{\,\prime} = \sqrt{n} \approx 1{,}22$ .
и) Условието за гасене не може да бъде изпълнено едновременно за всички дължини на вълните; слоят се прави с дебелина, която гаси отражението в средата на видимия диапазон (жълто-зелената област). В двата края на видимия диапазон условието не е изпълнено и там отражения има, което дава наблюдавания червено-виолетов нюанс.

Решение

а) Тъй като падащ успореден сноп (източник на безкрайност) след преминаване през обектива и окуляра трябва да остане успореден (образ на безкрайност), то това означава (вижда се от чертежа [0.5 т.]), че задните фокуси на двете лещи съвпадат. Тогава разстоянието $d$ между двете лещи е $d = f_\mathrm{об} - f_\mathrm{ок}$ . [0.5 т.] (1)

Два оптични хода на лъчи през събирателен обектив и разсейвателен окуляр с означени фокусни разстояния. — Чертежи към подусловия а) и б): горе — успореден сноп остава успореден, задните фокуси на обектива и окуляра съвпадат, $d = f_\mathrm{об} - f_\mathrm{ок}$ ; долу — ход на лъчите за два наклонени снопа с ъгли $\alpha$ и $\beta$ .

б) От чертежа [1 т.] се вижда, че $\Gamma = \dfrac{\beta}{\alpha} = \dfrac{f_\mathrm{об}}{f_\mathrm{ок}}$ . [0.5 т.] (2) Оптичната сила $\Phi$ на телескопа е нула. [1 т.]

в) От (2) и (1) се получава $f_\mathrm{ок} = \dfrac{d}{\Gamma-1}$ , [0.5 т.] и $f_\mathrm{об} = \dfrac{\Gamma . d}{\Gamma-1}$ . [0.5 т.]

г) Замествайки с дадените стойности за $d$ и $\Gamma$ в получените в подусловие в) формули, $f_\mathrm{об} \approx 980\ \mathrm{mm}$ , [0.5 т.] и $f_\mathrm{ок} \approx 48.0\ \mathrm{mm}$ . [0.5 т.]

д) От чертежа към подусловие а) се вижда че диаметрите на входния и изходния сноп се отнасят както отношението на фокусните разстояния на обектива и окуляра, $\dfrac{D}{l} = \dfrac{f_\mathrm{об}}{f_\mathrm{ок}}$ , откъдето $D = l\dfrac{f_\mathrm{об}}{f_\mathrm{ок}}$ [0.5 т.] $= 102\ \mathrm{mm}$ . [0.5 т.]

е) При предположение 1) от формулата на лещата $\dfrac{1}{s} + \dfrac{1}{s'} = \dfrac{1}{f_\mathrm{об}}$ (3) и $x = s' - f_\mathrm{об}$ (4). Замествайки (3) в (4), $x = \dfrac{f_\mathrm{об}^{\,2}}{s-f_\mathrm{об}}$ [0.5 т.] $\approx 19.6\ \mathrm{mm}$ . (окулярът ще се отдалечи от обектива) [0.5 т.] При предположение 2) от формулата на лещата, приложена за обектива и окуляра $\dfrac{1}{s} + \dfrac{1}{s'} = \dfrac{1}{f_\mathrm{об}}$ (3) и $\dfrac{1}{-(s'-d-x)} + \dfrac{1}{-(s+d+x)} = \dfrac{1}{-f_{ok}}$ . (5) [0.5 т.] Изчислявайки $s'$ от (3), $s' \approx 1{,}00\ \mathrm{m}$ . [0.5 т.] Замествайки $s'$ , $d$ и $f_{ok}$ с дадените стойности в (5) се стига до уравнението $x^2 + 50864x - 1015376 = 0$ , [1 т.] където $x$ е в mm. Положителният му корен е $x \approx 20.0\ \mathrm{mm}$ . [0.5 т.] Вижда се, че и при двете предположения се получава практически един и същ резултат.

ж) Изследвайки отраженията в призмите на Поро, изгледът на буквата F е даден на фигурата вдясно. [1 т.]

з) За да няма резултантно отражение от лещите, отраженията от границата въздух-тънък слой и от границата тънък слой-стъкло трябва да се гасят, т.е. трябва да са с равна интензивност и да са в противофаза. Ако пада лъч с интензивност $I_0$ , отразеният лъч от първата повърхност въздух-тънък слой ще има интензивност $I_1 = I_0\left(\dfrac{n^{\,\prime}-1}{n^{\,\prime}+1}\right)^2$ . [0.5 т.] Интензивността на отразеният лъч от втората повърхност тънък слой-стъкло и излязъл от тънкия слой ще има интензивност $I_2 = I_0\left[1 - \left(\dfrac{n^{\,\prime}-1}{n^{\,\prime}+1}\right)^2\right]^2 . \left(\dfrac{n-n^{\,\prime}}{n+n^{\,\prime}}\right)^2$ . [0.5 т.] Тъй като $I_1 = I_2$ , $\left(\dfrac{n^{\,\prime}-1}{n^{\,\prime}+1}\right)^2 \approx \left(\dfrac{n-n^{\,\prime}}{n+n^{\,\prime}}\right)^2$ . [0.5 т.] След опростяване $n^{\,\prime} = \sqrt{n}$ . [0.5 т.] За да са в противофаза разликата в оптичните пътища $2n^{\,\prime}h = (k + 1/2)\lambda$ , т.е. $h_k = \dfrac{(k+1/2)\lambda}{2n^{\,\prime}}$ [0.5 т.] (6) След заместване $n^{\,\prime} \approx 1.22$ [0.2 т.] и $h^{\,\prime} = h_1 \approx 118\ \mathrm{nm}$ . [0.3 т.]

Двете призми на Поро с трите изгледа на буквата F — входящ, междинен и изходящ. — Отговор на подусловие ж): изгледът на буквата F след първата призма (между двете призми) и след втората призма.

и) Тъй като условието (6) не може да бъде изпълнено за всички дължини на вълните едновременно, [0.4 т.] логично е слоят да е с дебелина, която осигурява гасене на отражението в средата на видимия диапазон, т.е. в жълто-зелената област. [0.4 т.] В двата края на видимия диапазон (6) няма да е изпълнено и там отражения ще има, което обяснява наблюдавания червено-виолетов нюанс на повърхностите на лещите. [0.2 т.]

Оригинал в Архива: 11-12_th_zad.pdf · официални решения: 11-12_th_resh.pdf