НОФ 2024, III кръг (национален), 8. клас — Задача 1. Графика път–време

• а) $\upsilon_{\mathrm{ср}} = \frac{s}{t} = 0{,}1\ \mathrm{m/s} = 10\ \mathrm{cm/s}$

• б) $\upsilon_{\max} = \frac{1\ \mathrm{m}}{4\ \mathrm{s}} = 0{,}25\ \mathrm{m/s} = 25\ \mathrm{cm/s}$

• в) $t_0 = 16\ \mathrm{s}$

  Моментът, в който правата през началото на координатната система се допира до графиката на пътя.

• г) $a = \frac{2\Delta s}{\Delta t^2} = \frac{2\cdot 0{,}2\ \mathrm{m}}{(4\ \mathrm{s})^2} = 0{,}025\ \mathrm{m/s^2}$

  Задача за оценка: приемат се обосновани решения, които след закръгляне към първа значеща цифра дават $a \approx 0{,}03$ m/s$^2$ (напр. алтернативното решение с допирателна дава $\approx 0{,}028$).

От фиг. 1 следва, че изминатият път от тялото е $s = 2\ \mathrm{m}$ (0,5 т.), като движението му продължава $t = 20\ \mathrm{s}$ (0,5 т.). Следователно средната скорост е

б) По определение моментната скорост е

Тя е максимална, когато за едно и също $\Delta t$ имаме най-голямо $\Delta s$ (0,5 т.). За интервала $10\ \mathrm{s} \le t \le 14\ \mathrm{s}$ графиката на пътя е практически част от права линия, движението се извършва с постоянна скорост и за този интервал $\Delta s$ е максимално (0,5 т.). Следователно намираме

в) Изминатият от тялото път за първите $t_0$ секунди, изразен чрез средната скорост $\upsilon_{0\mathrm{ср}}$, се дава с израза $s(t_0) = \upsilon_{0\mathrm{ср}}t_0$ (0,5 т.). Графиката на $s(t) = \upsilon_{0\mathrm{ср}}t$ е права линия, която минава през нулата (0,5 т.). В момента $t_0$ графиката трябва да има най-голям наклон, т.е. трябва да се допира към графиката на пътя (фиг. 1) (0,5 т.). По този начин намираме стойността $t_0 = 16\ \mathrm{s}$. (0,5 т.)

г) Тялото спира окончателно в двадесетата секунда, защото след този момент графиката е хоризонтална права. Периодът на равнозакъснително движение продължава приблизително от $t_1 = 16\ \mathrm{s}$ (0,5 т.), където графиката започва да се отклонява ясно от права линия до $t_2 = 20\ \mathrm{s}$ (0,5 т.), където тялото окончателно спирай . Следователно времето на спиране е $\Delta t = 4\ \mathrm{s}$ (0,5 т.), а спирачният път – $\Delta s = 0{,}2\ \mathrm{m}$ (0,5 т.). Ако $\upsilon_0$ е скоростта в началото на спирането, от законите за скоростта и за пътя при равнозакъснително движение имаме съответно:

Като изразим $\upsilon_0$ и заместим в закона за пътя, получаваме:

Оттук намираме:

Тъй като това е задача за оценка, се приемат и обосновани алтернативни решения, за които, след закръгляне към първа значеща цифра, се получава приблизителна стойност на ускорението $a \approx 0{,}03\ \mathrm{m/s^2}$.

Алтернативно решение: Ако ученикът знае (или се досети), че моментната скорост е наклон на допирателната към графиката на пътя, по построената допирателна в момента $16\ \mathrm{s}$ може да пресметне скоростта в началото на спирането: $v_0 = 2\ \mathrm{m}\ /\ 18\ \mathrm{s} \approx 0{,}11\ \mathrm{m/s}$. Оттука за ускорението се получава: $a = v_0/\Delta t = 0{,}11\ \mathrm{m/s}\ /\ 4\ \mathrm{s} \approx 0{,}028\ \mathrm{m/s}$, което също е в границите на приетата точност.