Съдържание

НОФ 2024, III кръг (национален), 9. клас — Задача 2. Център на тежестта на трапец

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2024

Национална олимпиада по физика 2024, национален кръг, тема за трета състезателна група (9. клас) · 29 март 2024 г. · 10 т.

Условие

В тази задача трябва да определите положението на центъра на тежестта на две тела с неправилна форма, т.е. две несиметрични тела. В зависимост от начина на решаване на задачата, можете да използвате факта, че потенциалната енергия на тяло с маса M и с произволни размери и форма се дава с израза $E_\mathrm{п} = Mgh_G$ , където $h_G$ е височината на неговия център на тежестта.

а) В краищата A и $B$ на пръчка с дължина $\ell$ и с пренебрежима маса са поставени малки топчета с маса m и 2m съответно (фиг. 2.1). На какви разстояния $\ell_1$ и $\ell_2$ от $A$ и $B$ съответно се намира центърът G на тежестта на това тяло? Размерът на топчетата се пренебрегва в сравнение с дължината на пръчката.

Хоризонтална пръчка AB с малка топка в A и по-голяма топка в B; точка G между тях, на разстояние ell_1 от A и ell_2 от B.

[2 т.]

б) От твърд картон е изрязана плоска пластина ABCD с форма на правоъгълен трапец с размери AB = 2a и CD = AD = $a$ , както е показано на фиг. 2.2. Определете координатите $x_G$ и $y_G$ на центъра G на тежестта на пластината спрямо координатна система с оси x и y съответно по страните $AB$ и AD..

Правоъгълен трапец с върхове A долу вляво, B долу вдясно, C горе вдясно и D горе вляво; вътре е отбелязана точка G с хоризонтална координата x_G и вертикална y_G.

[8 т.]

Отговори

Решение

а) Ако поставим пръчката вертикално така, че краят $A$ да е на земята, а краят $B$ – на височина $\ell$ над него, общата потенциална енергия на двете топчета ще бъде:

(1)\qquad E_\mathrm{п} = mg \cdot 0 + (2m)g\ell = 2mg\ell. \qquad \textbf{[0,5 т]}

Общата маса на тялото е $M = 3m$ . Понеже в това положение центърът на масата се намира на височина $\ell_1$ , потенциалната енергия на тялото може да се изрази като:

(2)\qquad E_\mathrm{п} = 3mg\ell_1. \qquad \textbf{[0,5 т]}

От двата еквивалентни израза за потенциалната енергия намираме:

(3)\qquad \ell_1 = \frac{2}{3}\ell. \qquad \textbf{[0,5 т]}

Разстоянието до края $B$ е съответно:

(4)\qquad \ell_2 = \ell - \ell_1 = \frac{1}{3}\ell. \qquad \textbf{[0,5 т]}

б) Пластинката може да се разглежда като съставена от две тела – квадрат със страна a и равнобедрен правоъгълен триъгълник с катет a [0,5 т]. Ако масата на пластината е M, то масата на квадрата е $m_1 = 2M/3$ [0,5 т], а на триъгълника е $m_2 = M/3$ [0,5 т]. Да предположим, че трапецът е поставен с голямата си основа върху хоризонтална повърхност. Тогава височината на центъра на тежестта на квадрата е $y_1 = a/2$ [0,5 т], а потенциалната му енергия:

(5)\qquad E_{\mathrm{п}1} = m_1 g y_1 = \frac{Mga}{3}. \qquad \textbf{[0,5 т]}

Центърът на тежестта на триъгълника е в неговия медицентър, т.е. на височина $y_2 = a/3$ [1,0 т]. Съответно потенциалната енергия на триъгълника е:

(6)\qquad E_{\mathrm{п}2} = m_2 g y_2 = \frac{Mga}{9}. \qquad \textbf{[0,5 т]}

От даденото свойство, за общата потенциална енергия на пластината имаме:

(7)\qquad Mgy_G = E_{\mathrm{п}1} + E_{\mathrm{п}2} = \frac{4Mga}{9}, \qquad \textbf{[0,5 т]}

откъдето:

(8)\qquad y_G = \frac{4a}{9}. \qquad \textbf{[0,5 т]}

Ако поставим трапеца така, че основите му да са вертикални, получаваме за височината на центъра на тежестта на квадрата $x_1 = a/2$ [0,5 т], а за триъгълника $x_2 = a + a/3 = 4a/3$ [1,0 т]. Съответно за потенциалната енергия на трапеца получаваме:

(9)\qquad E_\mathrm{п} = \frac{2}{3}Mgx_1 + \frac{1}{3}Mgx_2 = Mgx_G, \qquad \textbf{[1,0 т]}

Откъдето:

(10)\qquad x_G = \frac{7a}{9}. \qquad \textbf{[0,5 т]}

Теми и трудност

Трудност: неоценена.

Механика · Център на масите · Работа и енергия

Предпоставки: Прогимназиална подготовка, Разширена олимпиадна подготовка

Оригинал в Архива: NOF3_2024_9problems.pdf · официални решения: NOF3_2024_9solutions.pdf