НОФ 2024, IV кръг, експериментална задача 2 — Задача 1

Закони на хидродинамиката

1. Теоретична част

Водата и глицерина са течности със силно различаващи се свойства. В повечето случаи, с които се срещаме във всекидневието, водата има пренебрежим вискозитет и тече като идеален флуид. Глицеринът, напротив, е една от най-вискозните течности и движението му се определя основно от силите на вътрешно триене. В тази задача ще изследвате законите, по които изтичат идеален и силно-вискозен флуид от спринцовка с тесен отвор, и ще определите вискозитета на разреден разтвор на глицерин.

Разглеждаме спринцовка, която се състои от широко цилиндрично тяло с площ на вътрешното напречното сечение SS и цилиндрично „сопло” с дължина ℓ\ell и площ σ\sigma на отвора, от който изтича течността (вж. фигурата), като σ≪S\sigma \ll S. Спринцовката е поставена вертикално и е запълнена с течност до височина hh спрямо долния отвор на соплото.

Ако течността в спринцовката има пренебрежим вискозитет (т.е. идеален флуид), скоростта, с която тя изтича от долния отвор се дава с формулата на Торичели:

v=2gh(1)v = \sqrt{2gh} \qquad (1)

В случай, че течността има много голям вискозитет (в случая – разтвора на глицерин), изтичащият през отвора на соплото поток Φ\Phi, т.е. обемът течност, минал за единица време, се дава с формулата на Поазьой:

Φ=πr4ρgh8ηℓ,(2)\Phi = \frac{\pi r^4 \rho g h}{8\eta\ell}, \qquad (2)

където rr е радиусът на отвора, ρ\rho е плътността на течността, а gg е земното ускорение.

Използвайте следните данни, които може да приемете за точни стойности:

  • земно ускорение: g=9.81 m/s2g = 9.81\ \mathrm{m/s^2};
  • плътност на глицериновия разтвор: ρ=1200 kg/m3\rho = 1200\ \mathrm{kg/m^3}.
2. Уреди и материали
  • Спринцовка (без бутало) със скала, разграфена до обем 20 ml. Дължината на соплото на спринцовката е ℓ=1.20 cm\ell = 1.20\ \mathrm{cm} и може да се приеме за точна стойност.
  • Чаша с вода и шишенце с разтвор на глицерин.
  • Празни чаши за преливане на водата и на глицерина.
  • Чинийка за еднократна употреба, над която да се извършват всички опити по изтичане на течностите, за да се избегне мокрене или зацапване на лабораторните маси.
  • Линийка.
  • Хронометър.
  • Два листа милиметрова хартия, разчертан лист за две таблици, два листа за писане. Ако са ви нужни повече таблици, разчертайте ги на празен лист.
  • Попивателна домакинска хартия.
Бележка от източника

Преди да пристъпите към следващите задачи, подсушете внимателно вътрешната повърхност на спринцовката с дадената попивателна хартия!

Условие

Приемете, че спринцовката е вертикална и е пълна с флуид до височина h1h_1 над изходния отвор на соплото. Докажете, че ако флуидът започне да изтича, времето tt, за което нивото на течността намалява до височина h2h_2 над отвора (h1>h2>lh_1 > h_2 > l) се дава с изразите:

Схема на вертикална спринцовка: широко цилиндрично тяло с площ на сечението S, запълнено с течност; отдолу тясно сопло с дължина ℓ и отвор с площ σ; стрелка h показва височината на течността спрямо долния отвор на соплото.

(1 a)

t=Sσ(2h1g−2h2g)t = \dfrac{S}{\sigma}\left(\sqrt{\dfrac{2h_1}{g}} - \sqrt{\dfrac{2h_2}{g}}\right)

за идеален флуид [1 т.]

(1 b)

t=8πηℓSσ2ρgln⁡(h1h2)t = \dfrac{8\pi\eta \ell S}{\sigma^2 \rho g}\ln\left(\dfrac{h_1}{h_2}\right)

за силно вискозен флуид [1 т.]

Решение

Внимание: Непълно решение

В архива липсва файл с решения

Оригинал в Архива: exp2_zad.pdf