Съдържание

Условие Част I (5,5 т.)Част II (4,5 т.)Отговори Решение

НОФ 2025, III кръг (национален), 8. клас — Задача 3. Кинематика и хидростатика (задачата се състои от две независими части)

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2025

МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА · НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО ФИЗИКА · 25 – 27 април 2025 г., Казанлък · Тема за II състезателна група (8. клас) · 25 април 2025 г.

Условие

Част I (5,5 т.)

Двама мотоциклетисти се състезават на писта, съставена от два успоредни прави участъка (с една и съща дължина $L = 0{,}5\ \mathrm{km}$ ), съединени с къси 180-градусови завои на двата си края. Мотоциклетистите тръгват от единия край на пистата (с нулева начална скорост), движат се равноускорително с ускорения $a_{1\mathrm{у}} = 9\ \mathrm{m/s^2}$ и $a_{2\mathrm{у}} = 8\ \mathrm{m/s^2}$ , след което бият спирачки (движейки се равнозакъснително с ускорения $a_{1\mathrm{з}} = 10\ \mathrm{m/s^2}$ и $a_{2\mathrm{з}} = 12\ \mathrm{m/s^2}$ ), за да завият на другия край с пренебрежимо малка скорост. Движението в обратната посока е аналогично, след което двамата продължават по същия начин да обикалят по пистата до края на състезанието.

а) Намерете времената $T_1$ и $T_2$ , за които мотоциклетистите изминават половин обиколка (от единия край на пистата до другия). [2,5 т.]

б) Колко е разстоянието $d$ между мотоциклетите $t = 7\ \mathrm{min}$ след началото на състезанието? Приемете, че разстоянието между правите участъци е пренебрежимо малко. [1,5 т.]

в) С колко метра по-бързият мотоциклетист е изпреварил по-бавния $t^{\prime} = 20\ \mathrm{min}$ след началото на състезанието? [1,5 т.]

Част II (4,5 т.)

Куб със страна $\ell = 10\ \mathrm{cm}$ и неизвестна плътност $\rho_{\mathrm{к}}$ е закачен с тънка безмасова нишка за неправилно тяло от материал с шест пъти по-голяма плътност. Общият обем $V$ на тялото е неизвестен (в тялото има кухина с неизвестен обем $V^{\prime}$ ). Сумарната маса на куба и тялото е $M = 2\ \mathrm{kg}$ . Свързаните предмети са пуснати да плават в дълбок и широк съд, пълен с вода с плътност $\rho_{\mathrm{в}} = 1\ \mathrm{g/cm^3}$ , както е показано на фигурата вляво. С $x = \ell/2$ сме означили височината на издигане на куба над повърхността на водата. След това в горната част на неправилното тяло е пробит малък отвор, така че кухината се напълва с вода. Кубът има нова височина $y = \ell/3$ на издигане над водата в равновесие.

Куб със страна ℓ плава частично потопен във вода с плътност ρ_в; височината му над водата е x. Под куба на нишка виси неправилно тяло с кухина. Земното ускорение g е надолу.

а) Определете целия обем $V$ на неправилното тяло и обема $V^{\prime}$ на кухината. [2 т.]

б) Намерете плътността $\rho_{\mathrm{к}}$ на куба. [1 т.]

в) С колко процента нараства силата на опън на нишката, след като кухината се напълва с вода? [1,5 т.]

Отговори

Решение

Част I

а) За да намерим времето $T$ за половин обиколка (от единия край на пистата до другия) на всеки един от състезателите, нека да означим времето за ускоряване с $t_{\mathrm{у}}$ , а времето за спиране – с $t_{\mathrm{з}}$ , като $T=t_{\mathrm{у}}+t_{\mathrm{з}}$ . Ако означим максималната скорост с $v_{\max}$ , лесно се вижда, че $v_{\max}=a_{\mathrm{у}}t_{\mathrm{у}}=a_{\mathrm{з}}t_{\mathrm{з}}$ . [0,5 т.] Ако означим съответния път при равноускорително движение с $s_{\mathrm{у}}$ , $v_{\max}=\sqrt{2a_{\mathrm{у}}s_{\mathrm{у}}}=\sqrt{2a_{\mathrm{з}}(L-s_{\mathrm{у}})}$ . [0,5 т.] От горните равенства следва, че $T=\sqrt{\frac{2L(a_{\mathrm{у}}+a_{\mathrm{з}})}{a_{\mathrm{у}}a_{\mathrm{з}}}}$ . [1 т.] Така $T_1=\sqrt{\frac{2L(a_{1\mathrm{у}}+a_{1\mathrm{з}})}{a_{1\mathrm{у}}a_{1\mathrm{з}}}}\approx14{,}53\ \mathrm{s}$ и $T_2=\sqrt{\frac{2L(a_{2\mathrm{у}}+a_{2\mathrm{з}})}{a_{2\mathrm{у}}a_{2\mathrm{з}}}}\approx14{,}43\ \mathrm{s}$ . [0,5 т.]

б) За $t=7\ \mathrm{min}$ първият състезател е направил почти 29 полуобиколки (в дадения момент се движи равнозакъснително), докато вторият – малко над 29 (вече се движи равноускорително). [0,5 т.] Търсеното разстояние се дава от разликата на разстоянията от съответния мотоциклет до по-близкия край на пистата, т.е. $d=\frac{1}{2}[a_{1\mathrm{з}}(29T_1-t)^2-a_{2\mathrm{у}}(t-29T_2)^2]\approx1{,}2\ \mathrm{m}$ . [1 т.]

в) За $t^{\prime}=20\ \mathrm{min}$ първият състезател е изминал малко повече от 82,5 полуобиколки (в конкретния момент се движи равнозакъснително), докато вторият – малко над 83 (движи се равноускорително). [0,5 т.] Търсената преднина се дава от сумата на разстоянията от съответния мотоциклет до по-близкия край на пистата, т.е. е $\frac{1}{2}[a_{1\mathrm{з}}(83T_1-t^{\prime})^2+a_{2\mathrm{у}}(t^{\prime}-83T_2)^2]\approx194\ \mathrm{m}$ . [1 т.]

Част II

а) От условието за равновесие на системата преди пробиването на неправилното тяло следва, че сумарната сила на тежестта се уравновесява от сумарната сила на Архимед: $Mg=\rho_{\mathrm{в}}\ell^2(\ell-x)g+\rho_{\mathrm{в}}Vg$ . [0,5 т.] Оттук $V=\frac{M}{\rho_{\mathrm{в}}}-\ell^2(\ell-x)=1{,}5\ \mathrm{l}$ . [0,5 т.] След запълването на кухината с вода равновесието на системата води до условието $Mg=\rho_{\mathrm{в}}\ell^2(\ell-y)g+\rho_{\mathrm{в}}(V-V^{\prime})g$ . [0,5 т.] Като заместим $V$ от горе, ще получим $V^{\prime}=\ell^2(x-y)\approx0{,}17\ \mathrm{l}$ . [0,5 т.]

б) Масата на двата предмета е $M=\rho_{\mathrm{к}}\ell^3+6\rho_{\mathrm{к}}(V-V^{\prime})$ . Като заместим $V-V^{\prime}$ от решението на предишното подусловие, ще получим $\rho_{\mathrm{к}}=\frac{M}{6M+6\rho_{\mathrm{в}}\ell^2y-5\rho_{\mathrm{в}}\ell^3}\rho_{\mathrm{в}}\approx0{,}22\ \mathrm{g/cm^3}$ . [1 т.]

в) От условието за равновесие на куба преди пробиването на отвора се вижда, че първоначалната сила на опън е $T_1=\rho_{\mathrm{в}}\ell^2(\ell-x)g-\rho_{\mathrm{к}}\ell^3g$ . [0,5 т.] Аналогично, след напълването на кухината силата на опън става $T_2=\rho_{\mathrm{в}}\ell^2(\ell-y)g-\rho_{\mathrm{к}}\ell^3g$ . [0,5 т.] Следователно, търсеното относително нарастване на силата на опън е $\frac{T_2-T_1}{T_1}=\frac{\rho_{\mathrm{в}}(x-y)}{\rho_{\mathrm{в}}(\ell-x)-\rho_{\mathrm{к}}\ell}=\frac{(x-y)(6M+6\rho_{\mathrm{в}}\ell^2y-5\rho_{\mathrm{в}}\ell^3)}{(\ell-x)(6M+6\rho_{\mathrm{в}}\ell^2y-5\rho_{\mathrm{в}}\ell^3)-\ell M}=60\%$ . [0,5 т.]

Теми и трудност

Трудност: неоценена.

Механика · Флуиди · Кинематика · Закони на Нютон · Архимедова сила

Предпоставки: Прогимназиална подготовка, Разширена олимпиадна подготовка

Оригинал в Архива: NOF3_2025_8problems.pdf · официални решения: NOF3_2025_8solutions.pdf