НОФ 2026, II кръг (областен), 10. клас — Задача 2. Махало в магнитно поле

• а) $R_1 = \frac{1}{2}(mg + IBl),\qquad R_2 = \frac{1}{2}\left|mg - IBl\right|$

  При $\odot$ магнитната сила е надолу и $R_1 = \frac12(mg+IBl)$ е насочена вертикално нагоре. При $\otimes$ магнитната сила е нагоре: $R_2 = \frac12|mg-IBl|$; при $mg = IBl$ е $R_2 = 0$, при $mg > IBl$ е насочена вертикално нагоре, а при $mg < IBl$ – вертикално надолу.

• б) $T_1 = 2\pi\sqrt{\frac{h}{g}}\left(1+\frac{IBl}{mg}\right)^{-1/2} = T_0\left(1+\frac{IBl}{mg}\right)^{-1/2} < T_0,\qquad T_2 = 2\pi\sqrt{\frac{h}{g}}\left(1-\frac{IBl}{mg}\right)^{-1/2} = T_0\left(1-\frac{IBl}{mg}\right)^{-1/2} > T_0$

  Ефективно земно ускорение $g' = g + IBl/m$ при $\odot$ и $g'' = g - IBl/m$ при $\otimes$.

По големина магнитната сила, действаща на проводника, е $F_M = IBl$. [0,5 т.] Когато магнитната индукция има посоката $\odot$, магнитната сила, която действа на проводника с ток, е насочена вертикално надолу. [0,5 т.] Тогава в равновесие имаме $2R_1 = mg + IBl$, [0,5 т.] т.е. намираме $R_1 = \frac{1}{2}(mg + IBl)$. [0,5 т.] Във втория случай, когато посоката на индукцията е $\otimes$, магнитната сила е насочена вертикално нагоре. [0,5 т.] Тогава намираме $R_2 = \frac{1}{2}\left|mg - IBl\right|$. [0,5 т.] При $mg = IBl$, силата $R_2 = 0$. [0,5 т.] Ако $mg > IBl$, силата $R_2$ е насочена вертикално нагоре [0,5 т.], докато при $mg < IBl$ – ветикално надолу [0,5 т.].

б) За да извършва хармонично трептене проводника с ток в магнитното поле, трябва резултантната сила на тежестта $G$ и магнитната сила $F_M$ да е насочена по земното ускорение $g$. [0,5 т.] Тогава можем да въведем в случая $\odot$ ефективно земно ускорение $g'$ чрез равенството $mg' = mg + IBl = m(g + IBl/m)$, [0,5 т.] като имаме израза $g' = g + IBl/m$. [0,5 т.] Трептенията на рамката са трептения на математично махало с дължина $h$ и земно ускорение $g'$, т.е. периодът на трептене е $T_1 = 2\pi\sqrt{\frac{h}{g'}} = 2\pi\sqrt{\frac{h}{g}}\left(1+\frac{IBl}{mg}\right)^{-1/2}$, [1 т.] Като вземем предвид, че $T_0 = 2\pi\sqrt{l/g}$, получаваме: $T_1 = T_0\left(1+\frac{IBl}{mg}\right)^{-1/2} < T_0$, [0,5 т.] където $T_0$ е периодът на трептене в отсъствие на магнитното поле. Когато магнитната индукция има посока $\otimes$, можем да въведем ефективно земно ускорение чрез израза $mg'' = mg - IBl = m(g - IBl/m)$, [0,5 т.] като получаваме $g'' = g - IBl/m$. [0,5 т.] Тогава имаме $T_2 = 2\pi\sqrt{\frac{h}{g''}} = 2\pi\sqrt{\frac{h}{g}}\left(1-\frac{IBl}{mg}\right)^{-1/2}$, [1 т.] или $T_2 = T_0\left(1-\frac{IBl}{mg}\right)^{-1/2} > T_0$. [0,5 т.]