Съдържание

НОФ 2026, II кръг (областен), 11. клас — Задача 2. Завой

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2026

Олимпиада по физика 2026, областен кръг, тема за 11. клас (пета състезателна група) · 15 февруари 2026 г. · 10 т.

Условие

Автомобил с маса $m$ , движещ се равномерно, навлиза в завой, който е част от окръжност с радиус $R$ . Пътят е наклонен под ъгъл $\theta$ спрямо хоризонта (вж. фигурата). Автомобилът се разглежда като материална точка. Ускорението на свободното падане е $g$ . Съпротивлението на въздуха се пренебрегва. Коефициентът на триене между гумите и настилката на пътя е $k$ .

Скица на наклонен завой (вираж): пътна лента, извиваща надясно, с автомобил върху наклонената настилка; ъгълът на наклона спрямо хоризонта е означен с θ. — Автомобил на наклонен под ъгъл θ завой — част от окръжност с радиус R.

а) Пътят е хоризонтален ( $\theta = 0$ ). Да се намери максималната скорост $v_{\max}$ , при която автомобилът може да вземе завоя, без гумите му да приплъзват. [2 т.]

б) Пътят е наклонен под ненулев ъгъл $\theta$ , но триенето е пренебрежимо малко ( $k = 0$ ). Да се намери скоростта $v_0$ , при която автомобилът може да вземе завоя без приплъзване. [2 т.]

в) Пътят е наклонен под ъгъл $\theta$ , а триенето не е пренебрежимо ( $k > 0$ ). Да се намери минималната скорост $v_{\min}$ , при която автомобилът ще следва завоя, без да се приплъзва надолу по наклона. [3 т.]

г) На писта от сериите НАСКАР със следните параметри $R = 305\ \mathrm{m}$ и $\theta = 33°$ е постигната скорост от $v = 216\ \mathrm{mph}$ (мили в час). Да се намери минималният коефициент на триене $k_{\min}$ , необходим автомобилът да вземе завоя без приплъзване.

Данни: $g = 9{,}81\ \mathrm{m/s^2}$ ; $1\ \mathrm{mile}$ (миля) $= 1{,}609\ \mathrm{km}$ . [3 т.]

Отговори

Решение

Ще въведем координатна система с център моментното положение на автомобила, ос Oy вертикална нагоре и ос Ox насочена към центъра на кривината, както е показано на чертежа.

Същата скица на наклонения завой, върху която са нанесени начало O в автомобила, вертикална ос y нагоре и хоризонтална ос x, насочена към центъра на кривината; ъгълът на наклона е θ. — Координатната система към решението на задача 2: център — моментното положение на автомобила, ос Oy вертикално нагоре, ос Ox към центъра на кривината.

N_x = N\sin\theta,\; N_y = N\cos\theta \quad\text{и}\quad f_x = f\cos\theta,\; f_y = f\sin\theta

а) При хоризонтален път $N = mg$ [0,5 т.]. Единствената сила към центъра е триенето, следователно: $f = \dfrac{mv^2}{R}$ [0,5 т.]. Условие за неприплъзване: $f \leq kN = kmg$ [0,5т.]

Следователно $\dfrac{mv^2}{R} \leq kmg \;\Rightarrow\; v^2 \leq kgR \;\Rightarrow\; v_{\max} = \sqrt{kgR}$ [0,5 т.].

б) Без триене действат $mg$ и $N$ .

По оста Oy: $\;N\cos\theta = mg$ [0,5 т.]. По оста Ox: $\;N\sin\theta = \dfrac{mv^2}{R}$ [0,5 т.].

Делим второто уравнение на първото и получаваме: $\mathrm{tg}\theta = \dfrac{v^2}{gR} \;\Rightarrow\; v_0 = \sqrt{gR\,\mathrm{tg}\theta}$ [1 т.]

в) При минимална скорост автомобилът е „склонен“ да се плъзне надолу (към по-ниския край), затова триенето действа нагоре по наклона.

По оста Oy ускорението е 0: $N\cos\theta + f\sin\theta = mg$ [0,5 т.]. По оста Ox: $N\sin\theta - f\cos\theta = \dfrac{mv^2}{R}$ [0,5 т.]. Замествайки с $f = kN$ : $N(\cos\theta + k\sin\theta) = mg \;\Rightarrow\; N = \dfrac{mg}{\cos\theta + k\sin\theta}$ [0,5 т.]

N(\sin\theta - k\cos\theta) = \frac{mv^2}{R} \quad \textbf{[0,5 т.]}

Комбинираме и получаваме: $\dfrac{mg}{\cos\theta + k\sin\theta}(\sin\theta - k\cos\theta) = \dfrac{mv^2}{R}$ [0,5 т.]

Съкращаваме $m$ и получаваме:

v^2 = gR\,\frac{\sin\theta - k\cos\theta}{\cos\theta + k\sin\theta} \;\Rightarrow\; v_{\min} = \sqrt{gR\,\frac{\sin\theta - k\cos\theta}{\cos\theta + k\sin\theta}} \quad \textbf{[0,5 т.]}

г) Спрямо предишната подточка трябва да съобразим, че при висока скорост колата ще се приплъзва навън, следователно триенето ще има противоположна посока:

N\cos\theta - f\sin\theta = mg \quad \textbf{[0,5 т.]}

N\sin\theta + f\cos\theta = \frac{mv^2}{R} \quad \textbf{[0,5 т.]}

Решението за $N$ и $f$ : $N = m\left(g\cos\theta + \dfrac{v^2}{R}\sin\theta\right)$ [0,5 т.] и $f = m\left(\dfrac{v^2}{R}\cos\theta - g\sin\theta\right)$ [0,5 т.]

На границата на сцепление: $k_{\min} = \dfrac{|f|}{N} = \dfrac{\left|\frac{v^2}{R}\cos\theta - g\sin\theta\right|}{g\cos\theta + \frac{v^2}{R}\sin\theta}$ [0,5 т.]

Числено: $v = 216\ \mathrm{mph} = 216\cdot\dfrac{1609}{3600}\ \mathrm{m/s} \approx 96{,}54\ \mathrm{m/s}$ , $\sin 33° \approx 0{,}545$ , $\cos 33° \approx 0{,}839$

Заместваме и получаваме: $k_{\min} \approx 0{,}82$ [0,5 т.]

Оригинал в Архива: 11_zad11.pdf · официални решения: 11_resh11.pdf