НОФ 2026, II кръг (областен), 11. клас — Задача 3. Трупче върху клин

• а) $\frac{a_y}{a_x + a_M} = \mathrm{tg}\,\alpha$

  Относителното ускорение $\vec{a}_{\mathrm{rel}} = (a_x + a_M,\ a_y)$ е насочено по наклона.

• б) $a_M = \frac{mg\sin\alpha\cos\alpha}{M + m\sin^2\alpha}$

• в) $N = \frac{mMg\cos\alpha}{M + m\sin^2\alpha}$

• г) $a_{\mathrm{rel}} = \frac{(M+m)g\sin\alpha}{M + m\sin^2\alpha}$

а) Спрямо избраната КС клинът се ускорява наляво, т.е. $\vec{a}_{\text{клин}} = (-a_M, 0)$. Ускорението на трупчето спрямо земната повърхност е $\vec{a} = (a_x, a_y)$. Следователно относителното ускорение на трупчето спрямо клина е

Трупчето остава в контакт с наклонената страна и се движи по нея, затова $\vec{a}_{\mathrm{rel}}$ е насочено по наклона. Наклонът сключва ъгъл $\alpha$ с хоризонталата, следователно отношението на компонентите на всеки вектор, паралелен на наклона, е $\mathrm{tg}\,\alpha$. [1 т.]

Следователно $\dfrac{a_y}{a_x + a_M} = \mathrm{tg}\alpha$.

Алтернативно решение. За времето t, за което трупчето се спуска от върха до основата на клина, то изминава нъв вертикална посока разстояние, равно на височината на клина: $h = a_y t^2/2$ [0,5 т.] и се премества надясно в хоризонтална посока на разстояние: $s_1 = a_x t^2/2$. Същевременно клинът се премества наляво на разстояние $s_2 = a_M t^2/2$. Следователно трупчето се оказва на разстояние $s = s_1 + s_2 = (a_x + a_M)t^2/2$ [0,5 т.] от вертикалната стена на клина . Очевидно, че $h$ и $s$ са съответно срещулежащ и прилежащ катет срещу ъгъла $\alpha$, т.е. $h/s = \mathrm{tg}\,\alpha$, [0,5 т.] откъдето получаваме търсеното съотношение $\dfrac{a_y}{a_x + a_M} = \mathrm{tg}\alpha$ [0,5 т.].

б) За трупчето (II принцип на Нютон) по осите $x$ и $y$:

За клина по $x$: върху клина действа хоризонталната компонента на реакцията от трупчето $-N\sin\alpha$, а ускорението е наляво $-a_M$, следователно

От първото уравнение за трупчето и уравнението за клина следва

От кинематичната връзка от а)

От уравнението по $Ox$ и клина имаме $N = \dfrac{Ma_M}{\sin\alpha}$. Замествайки $N$ и $a_y$ в уравнението по $Oy$:

Преминаваме към sin , cos и след привеждане: $a_M = \dfrac{mg\sin\alpha\cos\alpha}{M + m\sin^2\alpha}$ [1 т.]

в) От уравнението за клина $N\sin\alpha = Ma_M$ следва $N = \dfrac{Ma_M}{\sin\alpha}$ [1 т.]

Замествайки намереното в подточка б) $a_M = \dfrac{mg\sin\alpha\cos\alpha}{M + m\sin^2\alpha}$, получаваме

г) Относителното ускорение $a_{rel}$ е хипотенуза в триъгълника на относителните ускорения $\left(a_{x,\mathrm{rel}}\ \text{и}\ a_y\right)$: $a_{\mathrm{rel}} = \dfrac{a_y}{\sin\alpha}$ или $a_{\mathrm{rel}} = \dfrac{a_x + a_M}{\cos\alpha}$ [1 т.]

Използваме $a_x + a_M = a_M\left(1 + \dfrac{M}{m}\right) = a_M\dfrac{m+M}{m}$:

Заместваме $a_M$:

Алтернативно решение. Спрямо клина трупчето изминава разстояние, равно на хипотенузата $\ell$ на клина, докато се спусне. От закона за равноускорително движение: $\ell = a_{\mathrm{rel}}t^2/2$. [1 т.] От друга страна, ако разглеждаме движението на трупчето спрямо земята: $h = a_y t^2/2$. [1 т.] Като вземем предвид, че $h = \ell\sin\alpha$, изразяваме: $a_{\mathrm{rel}} = a_y/\sin\alpha$. Вземаме предвид получените в предишните точки резултати: $a_y = a_M\dfrac{m+M}{m}\mathrm{tg}\alpha$ и $a_M = \dfrac{mg\sin\alpha\cos\alpha}{M + m\sin^2\alpha}$, откъдето получаваме окончателно: $a_{\mathrm{rel}} = \dfrac{(M+m)g\sin\alpha}{M + m\sin^2\alpha}$. [1 т.]