Съдържание

НОФ 2026, II кръг (областен), 9. клас — Задача 1. Трупчета и макари

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2026

Областен кръг на олимпиадата по физика 2026, тема за IX клас (трета състезателна група) · 15 февруари 2026 г. · 10 т.

Условие

Трупче с маса $2m$ е поставено върху хоризонтална плоскост. Коефициентът на триене между трупчето и плоскостта е $k$ . Трупчето е свързано с нишка за макара, висяща от ръба на плоскостта. Нишката е прехвърлена през малка макара, за да не се трие в ръба. От двете страни на висящата макара са закачени две тежести с маси съответно $m$ и $3m$ . Приемете, че $g = 10\,\mathrm{m/s^2}$ и $m = 2\,\mathrm{kg}$ . Всички нишки са леки и неразтегливи и всички макари са леки.

Схема: трупче 2m на хоризонтална маса, нишка през малка макара на ръба до висяща подвижна макара с тежести m и 3m; означени ускорения a, a1, a2 и посоката на g. — Трупче с маса $2m$ върху хоризонтална плоскост с коефициент на триене $k$ ; нишката минава през малка макара на ръба и през висяща макара, на която са закачени тежести $m$ и $3m$ .

а) Коефициента на триене $k$ е достатъчно голям, така че трупчето да не се движи.

Определете ускоренията $a_1$ и $a_2$ на двете теглилки. [4 т.]

б) Определете минималната стойност на коефициента на триене $k_{\min}$ , така че трупчето да остава неподвижно. [2 т.]

в) Експериментаторът решил да постави смазка между трупчето и хоризонталната плоскост, при което коефициента на триене станал $k = 3/4$ .

Определете ускоренията на теглилките $a_1, a_2$ и ускорението на трупчето $a$ . [4 т.]

Отговори

Решение

а) Понеже триенето е достатъчно, че трупчето да не се движи, то макрата също е неподвижна. Тогава очевидно $a_1 = a_2 = a_{12}$ (1 т.). Нека силата на опън на нишката е $T$ . Записваме втория закон на Нютон за всяка теглилка

\begin{cases} ma_1 = T - mg \\ 3ma_2 = 3mg - T \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} ma_{12} = T - mg \\ 3ma_{12} = 3mg - T \end{cases}\qquad \textbf{(1 т.)}

\Rightarrow\quad a_{12} = a_1 = a_2 = \frac{1}{2}g = 5\,\mathrm{m/s^2}\qquad \textbf{(2 т.)}

Същата схема със силите в червено: върху трупчето N, 2mg, f и 2T; върху висящата макара 2T нагоре и по T надолу от двете страни; върху теглилките T нагоре и mg, съответно 3mg надолу. — Силова диаграма към решението на зад. 1.

б) На висящата макара действат 3 сили – 2 сили на опън $T$ на прехвърлената през нея нишка и една сила на опън на нишката, от която виси макарата. Понеже макарата е лека, то сумата от силите, които и действат трябва да е 0, откъдето следва, че силата на опън на нишката, от която виси макарата, е $2T$ . (0.5 т.)

На трупчето действат 2 сили – силата на опън $2T$ на закачената за него нишка и силата на триене $f$ . Понеже трупчето е в равновесие, то $f = 2T$ . (0.5 т.) От закона на Кулон-Амонтон следва $f \le kN$ , където $N$ е нормалната реакция на опората, за която $N = 2mg$ . (0.5 т.) Оттук $k \ge k_{\min} = T/(mg)$ .

От предната подточка имаме $T = \frac{3}{2}mg$ и тогава

\Rightarrow\quad k_{\min} = \frac{3}{2}\qquad \textbf{(0.5 т.)}

в) От условието имаме $k = 3/4$ . Понеже тук триенето не е достатъчно, че да задържи неподвижно трупчето, то ще има триене при хлъзгане и следователно $f = kN = \frac{3}{2}mg$ . Записваме вторият закон на Нютон за всяко тяло в задачата (двете теглилки и трупчето):

\begin{cases} ma_1 = T - mg \\ 3ma_2 = 3mg - T \\ 2ma = 2T - \dfrac{3}{2}mg \end{cases}\qquad \textbf{(1 т.)}

Това са 3 уравнения с 4 неизвестни $(a, a_1, a_2, T)$ – нужно е още едно уравнение. Това е кинематичната връзка между ускоренията $a, a_1, a_2$ , която е следствие от неразтегливостта на нишката свързваща двете теглилки.

От лявата страна на висящата макара, нишката се скъсява с ускорение $a + a_1$ , а от дясната нишката се удължава с ускорение $a_2 - a$ . Но нишката е неразтеглива и следователно нейната дължина не може да се променя, т.е. с колкото се скъсява едната страна, с толкова трябва да се удължава другата $\Rightarrow a_1 + a = a_2 - a$ (1 т.).

Така се получава системата

\begin{cases} T - mg = ma_1 \\ 3mg - T = 3ma_2 \\ 2T - \dfrac{3}{2}mg = 2ma \\ 2a + a_1 - a_2 = 0 \end{cases}

Откъдето

a_1 = \frac{1}{20}g = 0.5\,\mathrm{m/s^2}\qquad a_2 = \frac{13}{20}g = 6.5\,\mathrm{m/s^2}\qquad a = \frac{3}{10}g = 3\,\mathrm{m/s^2}\qquad \textbf{(2 т.)}

Оригинал в Архива: 9_zad9.pdf · официални решения: 9_resh9.pdf