Съдържание

НОФ 2026, II кръг (областен), 9. клас — Задача 3. Последен полет с балон

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2026

Областен кръг на олимпиадата по физика 2026, тема за IX клас (трета състезателна група) · 15 февруари 2026 г. · 10 т.

Условие

Пенсионираните пилоти Алекс и Иван решават да се качат за последен път на балон с горещ въздух. Обемът на балона е $V = 3\cdot 10^3\,\mathrm{m^3}$ , плътността на въздуха на земната повърхността е $\rho_0 = 1.2\,\mathrm{kg/m^3}$ , а тази на горещия въздух е $\rho_h = 1.0\,\mathrm{kg/m^3}$ . Общата маса на балона и кошницата е $M = 400\,\mathrm{kg}$ , а двамата пилоти имат еднаква маса $m = 70\,\mathrm{kg}$ . Приемете, че $g = 10\,\mathrm{m/s^2}$ .

Линейна низходяща графика: по ординатата ρ/ρ0 от 0.95 до 1, по абсцисата h в km от 0 до 0.5; правата тръгва от (0, 1) и достига 0.95 при около 0.48 km. — Графика на зависимостта на относителната плътност на въздуха $\rho/\rho_0$ от височината $h$ в km.

а) В началото, балонът е вързан за земята с помощта на въже.

Каква минимална сила на опън трябва да издържа въжето, за да задържи балона на земята без да се скъса? [2 т.]

б) В някакъв момент въжето се срязва и балонът започва да се издига. Точно в същия момент Алекс стои на кантар в кошницата на балона.

Определете теглото $m'$ , което ще показва кантарът непосредствено след срязването на въжето. Резултатът закръглете до 3 значещи цифри. [3 т.]

в) Балонът се издига в продължение на около час и достига някаква височина $H$ .

Определете височината $H$ с точност $10\,\mathrm{m}$ . Резултатът закръглете до 2 значещи цифри. [3 т.]

г) Когато Алекс се насладил достатъчно на гледката горе, решил да слезе по най-бързия възможен начин и скочил с парашут от балона. В резултат балонът се издигнал до нова височина $H'$ .

Определете с точност $10\,\mathrm{m}$ на каква височина $H'$ се е издигнал балонът след като Алекс скочил. Резултатът закръглете до 2 значещи цифри.

Приемете, че плътността на въздуха в балона и обема на балона не се променят.

Жокер: Използвайте предоставената графика на зависимостта на плътността на въздуха от височината. [2 т.]

Отговори

Решение

а) Общата маса на балона е $M + 2m + \rho_h V$ . На балона му действа Архимедова сила $\rho_0 V g$ (0.25 т.) нагоре, силата на опън на въжето $T$ и силата на тежестта $(M + 2m + \rho_h V)g$ (0.25 т.) надолу. Понеже балонът е в равновесие (0.25 т.):

T = \rho_0 V g - (M + 2m + \rho_h V)g\ \textbf{(0.25 т.)}\ \Rightarrow\ T = ((\rho_0 - \rho_h)V - M - 2m)g\qquad \textbf{(0.5 т.)}

Или:

T = ((1.2 - 1.0)\cdot 3\cdot 10^3 - 400 - 2\cdot 70)\cdot 10\,\mathrm{N}\ \Rightarrow\ T = 600\,\mathrm{N}\qquad \textbf{(0.5 т.)}

б) След срязването на въжето, на балонът действа некомпенсирана сила нагоре, която води до ускорение $a$ . Като от втория закон на Нютон следва

(M + 2m + \rho_h V)a = \rho_0 V g - (M + 2m + \rho_h V)g\ \textbf{(0.5 т.)}\ \Rightarrow\ a = \left(\frac{\rho_0}{\rho_h + \frac{M+2m}{V}} - 1\right)g\qquad \textbf{(0.5 т.)}

Това означава, че целият балон започва да се издига нагоре с ускорение $a$ , включително и пилотът Алекс. Силата, която го ускорява нагоре е нормалната реакиция на опората $N'$ , т.е. на кантара. Тогава отново от втория принцип:

ma = N' - mg\ \Rightarrow\ N' = m(a + g)\qquad \textbf{(0.5 т.)}

От друга страна, показанието на кантара е $m' = N'/g$ (0.5 т.), окъдето

m' = \left(1 + \frac{a}{g}\right)m\ \Rightarrow\ m' = \frac{\rho_0}{\rho_h + \frac{M+2m}{V}}m\qquad \textbf{(0.5 т.)}

или

m' = \frac{1.2}{1.0 + \frac{400 + 2\cdot 70}{3000}}\cdot 70\,\mathrm{kg}\ \Rightarrow\ m' \approx 71.2\,\mathrm{kg}\qquad \textbf{(0.5 т.)}

в) Балонът ще спре да се издига, когато плътността на въздуха $\rho$ се изравни със средната плътност на балона. Еквивалентно, когато Архимедовата сила се изравни със силата на тежестта на балона. (1 т.)

Така имаме:

\rho V = M + 2m + \rho_h V\ \textbf{(0.5 т.)}\ \Rightarrow\ \frac{\rho}{\rho_0} = \frac{\rho_h}{\rho_0} + \frac{M + 2m}{\rho_0 V} = \frac{1.0}{1.2} + \frac{400 + 2\cdot 70}{1.2\cdot 3000} \approx 0.983\qquad \textbf{(0.5 т.)}

От графиката се получава $H \approx 160\,\mathrm{m}$ . (1 т.)

(за $H \in [150, 170]$ m – (0.5 т.); за $H < 150\,\mathrm{m}$ или $H > 170\,\mathrm{m}$ – (0 т.))

г) След скока на Алекс, пълната маса на балона е вече $M + m + \rho_h V$ (0.5 т.), откъдето новата височина е при плътност на въздуха от

\frac{\rho}{\rho_0} = \frac{\rho_h}{\rho_0} + \frac{M + m}{\rho_0 V} \approx 0.964\qquad \textbf{(0.5 т.)}

Отново от графиката се получава $H' = 350\,\mathrm{m}$ . (1 т.)

(за $H \in [340, 360]$ m – (0.5 т.); за $H < 340\,\mathrm{m}$ или $H > 360\,\mathrm{m}$ – (0 т.))

Оригинал в Архива: 9_zad9.pdf · официални решения: 9_resh9.pdf