НПСФ 2001, Специална тема — Задача 4

МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА — НАЦИОНАЛНО СЪСТЕЗАНИЕ ПО ФИЗИКА, 23.03.2001 – 25.03.2001 гр.Пловдив — СПЕЦИАЛНА ТЕМА · 23 март 2001 г. · 60 т.

Условие

Зад 4. I. Както е известно траекторията на един изкуствен спътник на Земята с маса $m$ е елипса в един от фокусите $F_{1}$ на която се намира центъра на Земята с маса $M_{3}$ /виж фигурата/. Сумата от разстоянията от всяка точка на елипсата до фокусите ѝ $F_{1}$ и $F_{2}$ е постоянна величина $2a$, която $a$ се наича голяма полуос на елипсата. Координатите $r$ и $\varphi$ на една точка P от елипсата удовлетворяват уравнението: $\frac{p}{r}=1+\varepsilon\cos\varphi,\qquad(1)$ в което величината $p$ се наича параметър, а $\varepsilon$ — ексцентрицитет на елипсата. Като използвате законите на физиката и имате предвид, че частен случай на елипса е окръжността, изразете голямата полуос $a$, малката полуос $b$, параметър $p$, ексценмрицитета $\varepsilon$ и периода $T$ на спътника чрез енергията му $E$ /$E<0$/ и големината на момента на импулса му $M$.

А/ Вж. условието: изразете $a$, $b$, $p$, $\varepsilon$ и периода $T$ на спътника чрез енергията му $E$ /$E<0$/ и големината на момента на импулса му $M$.

Б/ Да се изрази чрез първата космическа скорост $v_{1}$ скоростта на една ракета, изстреляна от Земята, която на безкрайно голямо разстояние има скорост 0.

В/ Максималното отдалечение от повърхността на Земята на един спътник е $h_{2}=320\ \mathrm{km}$, а минималното му отдалечение е $h_{1}=160\ \mathrm{km}$. Да се определят енергията, моментът на импулса и скоростта на спътника в точката на минималното му отдалечение и ексцентрицитета на орбитата му. Радиусът на Земята е $R=6370\ \mathrm{km}$, а масата на спътника е $m=1000\ \mathrm{kg}$. Малък ракетен двигател е монтиран на спътника и когато той е минимално отдалечен от Земята, двигателят работи за кратко време. Какво трябва да бъде изменението на скоростта на спътника, че той да се движи по кръгова орбита на височина $h_{1}$ от Земята?

II. Нека една ракета се изстрелва от Земята със скорост $\vec v$ и нека $\vec v_{\infty}$ е скоростта ѝ в място, където земното привличане е незначително и се компенсира от слънчевото привличане. Изразете $\vec v_{\infty}$ чрез скоростта $\vec u'$ на движението на Земята около Слънцето /$u'=298\ \mathrm{km/s}$/ и ъгъла $\theta$, който сключват $\vec v_{\infty}$ и $\vec u'$. Като използвате получения резултат оценете третата космическа скорост.

Отговори

Решение

---

Оригинал в Архива: proletni_2001_STproblems.pdf · официални решения: proletni_2001_STsolutions.pdf