НПСФ 2002, 9. клас — Задача 4

• а) $A = \Delta W = -2\varepsilon_0 E_0 E_1 Sd$ при външно поле по посока на полето на кондензатора; $\Delta W = A = 2\varepsilon_0 E_0 \frac{q}{\varepsilon_0 S} Sd = 2qE_0 d$ при противоположно ориентирано външно поле, където $E_1 = \frac{q}{\varepsilon_0 S}$.
• б) $A = \mp qE_0 d$
• в) $A = \mp qE_0 d$

4 задача (30 точки)

Решение

Дадено: $E_0$, $S$, $d$, $q$

Търси се: $A = ?$

а) Нека външното електрично поле с интензитет $E_0$ е ориентирано по посока на полето на кондензатора (фиг. 4). Работата, която се извършва, за да се сменят местата на електродите е равна на изменението на електричната енергия:

(1 т.)

където $W_0$ е началната енергия.

Фиг. 4 (1 т.)

(3 т.)

(Интензитетът на електричното поле в кондензатора е сума от интензитетите на външното електрично поле и електричното поле, създадено от заряда q.)

При размяна местата на електродите, се променя посоката на електричното поле, създадено от заряда q.

Тогава ел. енергия е $W = \frac{\varepsilon_0 (E_0 - E_1)^2}{2} Sd$. (3 т.)

Като имаме предвид, че

(1) $E_1 = \frac{q}{Cd} = \frac{q}{\varepsilon_0 S}$, (2 т.)

за работата получаваме $A = \Delta W = -2\varepsilon_0 E_0 E_1 Sd$. (1 т.)

Нека разгледаме и случая, когато в началото външното електрично поле е противоположно ориентирано на полето на кондензатора (фиг. 5). В този случай

(2 т.)

(1 т.)

Като заместим $E_1$ от (1) получаваме

Фиг. 5 (1 т.)

(1 т.)

б) В този случай (фиг. 6а, 6б) резултатното електрично поле в крайното положение (електродите на кондензатора са разположени успоредно на външното поле) има интензитет $E^2 = E_0^2 + E_1^2$ (2 т.)

Фиг. 6а (1 т.) Фиг. 6б (1 т.)

Тогава $A = \Delta W = \frac{\varepsilon_0 (E_0^2 + E_1^2)}{2} Sd - \frac{\varepsilon_0 (E_0 \pm E_1)^2}{2} Sd$. (2 т.)

Оттук за A получаваме $A = \mp \varepsilon_0 E_0 E_1 Sd$. (1 т.)

Като заместим $E_1$ от (1), получаваме $A = \mp qE_0 d$ (1 т.)

в) Тъй като разглеждаме кондензатора и електричното поле като една система, в този случай енергията ѝ след изваждане на кондензатора от полето е сума от енергиите на външното поле и полето на кондензатора със заряд q:

(3 т.)

Оттук $A = \Delta W = \frac{\varepsilon_0 E_0^2 Sd}{2} + \frac{\varepsilon_0 E_1^2 Sd}{2} - \frac{\varepsilon_0 (E_0 \pm E_1)^2 Sd}{2}$ (2 т.)

След заместване на $E_1$ от (1) за работата получаваме $A = \mp qE_0 d$ (1 т.)