Съдържание

НПСФ 2003, Специална тема — Задача 2. Прост модел за електрическото съпротивление

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НПСФ 2003

Национално пролетно състезание по физика, Ковачевци, 21–23.03.2003 г. — Специална тема · 21 март 2003 г. · 15 т.

Условие

Според един прост модел за електрическото съпротивление, когато свободен електрон се движи спрямо кристалната решетка на метала със скорост $\vec{v}$ , върху него действа сила на съпротивление $\vec{f} = -\gamma\vec{v}$ . При дадена температура коефициентът $\gamma$ зависи единствено от вида на метала.

Данни:

моларна маса на медта $M = 0{,}064$ kg/mol;
число на Авогадро $N_{\mathrm{A}} = 6{,}02{\cdot}10^{23}$ mol $^{-1}$ ;
специфично съпротивление на медта $\rho = 1{,}68{\cdot}10^{-8}$ $\Omega$ .m;
плътност на медта $d = 8{,}9{\cdot}10^{3}$ kg/m $^3$ ;
елементарен електричен заряд $e = 1{,}60{\cdot}10^{-19}$ C;
маса на електрона $m_{\mathrm{e}} = 9{,}10{\cdot}10^{-31}$ kg;
магнитна константа $\mu_0 = 4\pi{\cdot}10^{-7}$ H/m.

а) Изразете коефициента $\gamma$ чрез концентрацията на свободните електрони $n$ (броя на свободните електрони в единица обем), специфичното съпротивление на метала $\rho$ и елементарния електричен заряд $e$ . [5 т.]

б) Пресметнете числено коефициента $\gamma$ за мед, като приемете, че всеки атом мед отдава един свободен електрон. [4 т.]

в) Дълъг, праволинеен меден проводник с радиус на напречното сечение $r = 1$ cm се движи с постоянно ускорение $a = 200$ m/s $^2$ , насочено успоредно на оста на проводника. Намерете индукцията на магнитното поле върху повърхността на проводника. [6 т.]

Отговори

Решение

а) Разглеждаме проводник с дължина $l$ и лице на напречното сечение $S$ . При протичане на постоянен ток $\vec{f} - e\vec{E} = 0$ , [1 т] или:

v = \frac{eE}{\gamma} = \frac{eU}{\gamma l}.

[1 т]

Токът по проводника е $I = nevS = \dfrac{ne^2}{\gamma}\dfrac{US}{l}$ [1 т]

От друга страна $U = \dfrac{\rho l}{S}I$ . [1 т]

откъдето намираме:

\gamma = \rho n e^2.

[1 т]

б) Масата на вещество с обем $V$ е $m = dV$ и съдържа $m/M$ мола. [1 т] Броят на атомите в този обем, а оттам и броят на свободните електрони е

N = \frac{dVN_{\mathrm{A}}}{M},

[1 т]

концентрацията на свободните носители:

n = \frac{N}{V} = \frac{dN_{\mathrm{A}}}{M}

[1 т]

и коефициентът $\gamma$ :

\gamma = \frac{\rho d N_{\mathrm{A}} e^2}{M} = 3{,}60{\cdot}10^{-17}\ \mathrm{kg/s}.

[1 т]

в) I метод – инерциална отправна система.

Електроните се ускоряват под действие на силата на триене, с която им действа кристалната решетка. От II принцип на Нютон:

m_{\mathrm{e}}a = f = \gamma(v_+ - v_-),

[2 т]

където $v_+$ е скоростта на кристалната решетка, а $v_-$ – скоростта на свободните електрони. Тъй като всеки атом в кристалната решетка е носител на един елементарен положителен заряд, движението на кристалната решетка поражда електричен ток:

I_+ = nev_+

[1 т]

От друга страна електроните създават ток в обратна посока $I_- = nev_-$ [1 т]

Общият ток в проводника е:

I = I_+ - I_- = ne(v_+ - v_-)S = \frac{nem_{\mathrm{e}}aS}{\gamma} = \frac{m_{\mathrm{e}}a\pi r^2}{e\rho},

[1 т]

а магнитното поле върху повърхността:

B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r} = \frac{\mu_0 m_{\mathrm{e}}ar}{2e\rho} = 4{,}25{\cdot}10^{-10}\ \mathrm{T}.

[1 т]

II метод – неинерциална отправна система, свързана с проводника.

Върху всеки електрон е приложена инерчна сила $\vec{F}_{in} = -m_{\mathrm{e}}\vec{a}$ . [2 т]

Под действие на тази сила електроните се движат с постоянна скорост

\vec{v} = \frac{\vec{F}_{in}}{\gamma} = -\frac{m_{\mathrm{e}}\vec{a}}{\gamma}.

[1 т]

В тази отправна система атомите са неподвижни и само електроните създават ток:

I = nevS = \frac{nem_{\mathrm{e}}a\pi r^2}{\gamma} = \frac{m_{\mathrm{e}}a\pi r^2}{e\rho}.

[2 т]

Магнитното поле е:

B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r} = \frac{\mu_0 m_{\mathrm{e}}ar}{2e\rho} = 4{,}25{\cdot}10^{-10}\ \mathrm{T}.

[1 т]

Оригинал в Архива: proletni_2003_STproblems.pdf · официални решения: proletni_2003_STsolutions.pdf