Съдържание

НПСФ 2003, Специална тема — Задача 1. Трупче на движеща се гумена лента

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НПСФ 2003

Национално пролетно състезание по физика, Ковачевци, 21–23.03.2003 г. — Специална тема · 21 март 2003 г. · 15 т.

Условие

Триенето между повърхностите на реалните тела се характеризира с два коефициента на триене: $\mu_s$ – коефициент на статично триене и $\mu_k$ – коефициент на кинетично триене. Коефициентът на статично триене определя максималната сила на триене между двете тела, когато те са в покой едно спрямо друго: $f_{\max} = \mu_s N$ , където $N$ е силата на нормална реакция. Коефициентът на кинетично треиене определя силата на триене, когато телата се хлъзгат едно спрямо друго: $f = \mu_k N$ . По правило $\mu_s > \mu_k$ , т. е. когато телата започнат да се хлъзгат едно спрямо друго силата на триене рязко намалява от $f_{\max}$ до $f$ .

Трупче с маса $m = 2{,}0$ kg е закрепено към пружина с коефициент на еластичност $k = 40$ N/m. Трупчето се намира върху гумена лента, която се движи с постоянна скорост $u = 0{,}5$ m/s. Коефициентът на статично триене между трупчето и лентата е $\mu_s = 0{,}8$ , а коефициентът на кинетично триене – $\mu_k = 0{,}4$ . Приемете, че земното ускоерение е $g = 10$ m/s $^2$ .

Пружина, закрепена за стена вляво, държи трупче, което лежи върху горния клон на движеща се лентова транспортна лента. — Трупчето, закрепено с пружина към стената, лежи върху гумена лента, движеща се със скорост $u$ ; координатата $x$ се брои от недеформираното положение $0$ надясно, в посоката на началната скорост $v_0$ .

а) 1. В началния момент пружината е недеформирана ( $x = 0$ ) и на трупчето е придадена начална скорост $v_0 = u$ в посоката на движение на лентата.

При какво разтягане $x_1$ на пружината трупчето ще започне да се хлъзга спрямо лентата? [2 т.]

а) 2. Намерете максималното разтягане $x_{\max}$ на пружината? [4 т.]

б) 1. Движението на трупчето представлява сложно незатихващо трептене.

Намерете амплитудата $A$ на трептенето. [3 т.]

б) 2. Проследете качествено един пълен период на трептенето, като определите какви видове движения извършва трупчето в рамките на периода. Пресметнете периода $T$ на трептенето. [4 т.]

б) 3. Изобразете графично (качествено) закона за движение на трупчето. [2 т.]

Отговори

Решение

а) Тъй като $v_0 = u$ , трупчето е неподвижно спрямо лентата и продължава да се движи равномерно, без хлъзгане, докато $kx \le f_{\max}$ , където $f_{\max} = \mu_s mg = 16$ N е максималната сила на триене при покой. [1 т]

Хлъзгането започва при $x_1 = \dfrac{\mu_s mg}{k} = 0{,}4$ m. [1 т]

Непосредствено след този момент скоростта на трупчето е $v = u$ , а силата на триене, която му действа намалява до $f = \mu_k mg = 8$ N и е насочена надясно, в положителна посока на оста $x$ . [1 т]

В момента на спиране $v = 0$ и $x = x_{\max}$ . От закона за изменение на енергията следва:

\frac{kx_{\max}^2}{2} = \frac{kx_1^2}{2} + \frac{mu^2}{2} + f(x_{\max} - x_1),

[1 т]

Като вземем предвид израза за $x_1$ получаваме следното квадратно уравнение:

kx_{\max}^2 - 2fx_{\max} - mu^2 + \frac{2f_{\max}f - f_{\max}^2}{k} = 0.

Максималното разтягане на пружината (крайното дясно положение на трупчето) се определя от по-големия корен на уравнението:

x_{\max} = \frac{f + \sqrt{kmu^2 + (f_{\max} - f)^2}}{k} \approx 0{,}43\ \mathrm{m}.

[2 т]

б) Докато трае хлъзгането, уравнението на движение на трупчето има вида:

ma = -kx + f = -k\left(x - \frac{f}{k}\right).

[1 т]

Следователно трупчето извършва хармонично трептене около отместено равновесно положение:

x(t) = x_0 + A\cos\left(2\pi\frac{t}{T_0} + \delta_0\right),

[1 т]

където $x_0 = \dfrac{f}{k} = 0{,}20$ m е равновесното положение, $T_0 = 2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}} \approx 1{,}40$ s е периодът на едно пълно хармонично трептене и $\delta_0$ е началната фаза.

Амплитудата на трептенето е:

A = |x_{\max} - x_0| = 0{,}23\ \mathrm{m}.

[1 т]

Хлъзгането се преустановява в момента, когато трупчето отново достигне скорост $v = u$ . Това става в точка с координата $x_2$ , симетрична на точката $x_1$ спрямо равновесното положение $x_0$ :

x_2 = 2x_0 - x_1 = 0\ \mathrm{m}.

[1 т]

Движението на трупчето от $x_2$ до $x_1$ е равномерно със скорост $u$ . Времето за равномерно движение е:

t_{\text{равн}} = \frac{|x_2 - x_1|}{u} = 0{,}8\ \mathrm{s}.

[1 т]

Времето за хармонично трептене е:

t_{\text{харм}} = T_0/2 + 2\tau,

[0,5 т]

където $\tau$ удоволетворява уравнението $x_1 = x_0 + A\cos\left(2\pi\dfrac{\tau}{T_0}\right)$ . Оттук намираме:

t_{\text{харм}} = \frac{T_0}{2} + \frac{T_0}{\pi}\arccos\left(\frac{x_1 - x_0}{A}\right) \approx 0{,}93\ \mathrm{s}.

[1 т]

Следователно периодът на сложното трептене е:

T = t_{\text{равн}} + t_{\text{харм}} \approx 1{,}73\ \mathrm{s}.

[0,5 т]

Графиката на закона за движение е показана на фигурата. [2 т]

Графика на координатата на трупчето във времето с означени участъци „Хармонично трептене“ и „Равномерно движение“. — Законът за движение $x(t)$ : участък на хармонично трептене (от $X_1 = 0{,}4$ през минимум под $X_2 = 0{,}0$ ) и участък на равномерно движение обратно до $X_1$ ; $X_0 = 0{,}2$ е отместеното равновесно положение, $\tau$ и $T_0/2$ са означени на графиката.

Оригинал в Архива: proletni_2003_STproblems.pdf · официални решения: proletni_2003_STsolutions.pdf