Съдържание

НПСФ 2003, Специална тема — Задача 3. Цикличен процес с един mol идеален газ

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НПСФ 2003

Национално пролетно състезание по физика, Ковачевци, 21–23.03.2003 г. — Специална тема · 21 март 2003 г. · 15 т.

Условие

С един mol идеален газ, чийто показател на адиабатата е $\gamma$ , се извършва цикличен процес. Той се състои от изотермно разширение (1-2), изобарно свиване (2-3) и адиабатно свиване (3-1). Началната температура на газа е $T_0$ , а началният му обем – $V_0$ . Максималният обем, който достига газът, е 3 пъти по-голям от началния му обем.

Упътване: Работата, която извършва идеален газ при изотермно разширение от обем $V_{\text{нач}}$ до обем $V_{\text{кр}}$ е $A = RT\ln(V_{\text{кр}}/V_{\text{нач}})$ .

а) Начертайте на pV - диаграма графиката на цикличния процес [3 т.]

б) Определелете минималната температура на газа [4 т.]

в) Намерете КПД $\eta$ на топлинния двигател, работещ по описания цикъл. Направете числена оценка за едноатомен идеален газ [6 т.]

г) Пресметнете максимално възможния КПД $\eta_{\max}$ на топлинен двигател, работещ при същите минимална и максимална температури, както в описания цикъл. Направете числена оценка за едноатомен идеален газ [2 т.]

Отговори

Решение

а) Графиката на цикличния процес е показана на фигурата (по 1 т за всеки правилно начертан процес).

б) Температурата на газа е минимална в състояние 3 [1 т]. Процесът 1-2 е изотермен и $T_2 = T_0$ . За изобарния процес 2-3:

\frac{V_2}{T_0} = \frac{V_3}{T_3}.

[1 т]

От друга страна процесът 3-1 е адиабатен и

T_3V_3^{\gamma-1} = T_0V_0^{\gamma-1}

[1 т]

От горните уравнения получаваме:

T_3 = T_0\left(\frac{V_0}{V_2}\right)^{\frac{\gamma-1}{\gamma}} = 3^{\frac{1-\gamma}{\gamma}}T_0

[1 т]

в) По определение:

\eta = 1 - \frac{Q_{\text{отд}}}{Q_{\text{пол}}}.

Работното вещество получава топлина само при изотермното разширение. Тъй като вътрешната енергия на идеалния газ зависи само от температурата му $U_1 = U_2$ и

Q_{\text{пол}} = U_2 - U_1 + A_{12} = RT_0\ln 3.

[1 т]

Газът отдава топлина при изобарно свиване:

Q_{\text{отд}} = c_p(T_2 - T_3) = \frac{\gamma RT_0}{\gamma - 1}\left[1 - \frac{1}{3^{\frac{\gamma-1}{\gamma}}}\right],

[1 т]

където е използвано съотношението на Майер $c_{\mathrm{p}} = c_{\mathrm{V}} + R$ и определението $\gamma = c_{\mathrm{p}}/c_{\mathrm{V}}$ . Окончателно намираме:

\eta = 1 - \frac{\gamma\left[3^{\frac{\gamma-1}{\gamma}} - 1\right]}{(\gamma - 1)3^{\frac{\gamma-1}{\gamma}}\ln 3} \approx 0{,}19

[2 т]

г) От всички топлинни двигатели работещи между максимална температура $T_{\max} = T_0$ и минимална температура $T_{\min} = 3^{\frac{1-\gamma}{\gamma}}T_0$ , максимален КПД има двигател, работещ по цикъла на Карно:

\eta_{\max} = 1 - \frac{T_{\min}}{T_{\max}} = 1 - \frac{1}{3^{\frac{\gamma-1}{\gamma}}} \approx 0{,}36.

[2 т]

pV-диаграма с точки 1, 2 и 3, изотерма през 1 и 2, хоризонтална изобара от 2 до 3 и по-стръмна адиабата от 3 до 1. — Цикълът в координати $p$ – $V$ : изотерма 1-2 при $T_0$ , изобара 2-3 при $p_2$ и адиабата 3-1; означени са $V_0$ , $V_3$ , $V_2$ и $p_1$ , $p_2$ .

Оригинал в Архива: proletni_2003_STproblems.pdf · официални решения: proletni_2003_STsolutions.pdf