НПСФ 2004, Специална тема — Задача 3

Национално пролетно състезание по физика, Велико Търново, 13 – 14 март 2004 г — Специална тема · 13 март 2004 г. · 10 т.

Условие

Съгласно с модела на Бор електронът във водородния атом може да обикаля около ядрото по т. нар. стационарни орбити, които се определят от условието, че дължината на орбитата $s$ е целочислено кратна на дължината $\lambda$ на вълната на дьо Бройл за електрона:

$s = n\lambda.$

Числото $n = 1, 2, 3, \ldots$ се нарича главно квантово число на орбитата.

Скоростта, с която обикаля електронът във водородния атом е значително по-малка от скоростта на светлината. Ако обаче електронът обикаля около ядро, което съдържа голям брой протони, е възможно неговата скорост да стане съпоставима със скоростта на светлината. В този случай електронът трябва да се разглежда като релативистка частица с маса, по-голяма от масата му в покой.

Фундаментални константи:

Кулонова константа: $k = 1/(4\pi\varepsilon_0) = 8{,}9876.10^9\ \mathrm{N.m^2/C^2}$;

Скорост на светлината във вакуум: $c = 2{,}9979.10^8\ \mathrm{m/s}$;

Константа на Планк: $h = 6{,}6268.10^{-34}\ \mathrm{J.s}$;

Елементарен електричен заряд: $e = 1{,}6022.10^{-19}\ \mathrm{C}$;

Маса на електрона в покой: $m_0 = 9{,}1095.10^{-31}\ \mathrm{kg}$.

а) Разгледайте движението на електрон по кръгова орбита около неподвижно ядро, съдържащо $Z$ протона. Като използвате модела на Бор изразете отношението $v/c$ на скоростта на електрона към скоростта на светлината чрез броя на протоните $Z$, главното квантово число на орбитата $n$ и фундаментални константи от дадените в края на задачата. [3 т.]

б) Отношението $v/c$ за основната орбита ($n = 1$) в атома на водорода се нарича константа на фината структура и се бележи с $\alpha$. Като използвате резултата от т. а) пресметнете с минимум четири значещи цифри стойността на константата $\alpha$. [1 т.]

в) Какъв е максималният брой протони $Z_{\max}$ в ядрото, при който съществува електронна орбита с главно квантово число $n = 1$? [1,5 т.]

г) Изразете пълната механична енергия $E$ на електрон (сумата от кинетичната и потенциалната му енергии) за орбита с главно квантово число $n$ в атом с пореден номер $Z$ чрез $\alpha$, масата в покой $m_0$ на електрона и скоростта $c$ на светлината. [3 т.]

д) Колко нанометра е максималната дължина на вълната на фотон, който може да избие електрон от основната орбита ($n = 1$) в атом с пореден номер $Z = Z_{\max}$? [1,5 т.]

Отговори

Решение

---

Оригинал в Архива: proletni_2004_STproblems.pdf · официални решения: proletni_2004_STsolutions.pdf