Съдържание

НПСФ 2004, Специална тема — Задача 3

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НПСФ 2004

Национално пролетно състезание по физика, Велико Търново, 13 – 14 март 2004 г — Специална тема · 13 март 2004 г. · 10 т.

Условие

Съгласно с модела на Бор електронът във водородния атом може да обикаля около ядрото по т. нар. стационарни орбити, които се определят от условието, че дължината на орбитата $s$ е целочислено кратна на дължината $\lambda$ на вълната на дьо Бройл за електрона:

s = n\lambda.

Числото $n = 1, 2, 3, \ldots$ се нарича главно квантово число на орбитата.

Скоростта, с която обикаля електронът във водородния атом е значително по-малка от скоростта на светлината. Ако обаче електронът обикаля около ядро, което съдържа голям брой протони, е възможно неговата скорост да стане съпоставима със скоростта на светлината. В този случай електронът трябва да се разглежда като релативистка частица с маса, по-голяма от масата му в покой.

Фундаментални константи:

Кулонова константа: $k = 1/(4\pi\varepsilon_0) = 8{,}9876.10^9\ \mathrm{N.m^2/C^2}$ ;

Скорост на светлината във вакуум: $c = 2{,}9979.10^8\ \mathrm{m/s}$ ;

Константа на Планк: $h = 6{,}6268.10^{-34}\ \mathrm{J.s}$ ;

Елементарен електричен заряд: $e = 1{,}6022.10^{-19}\ \mathrm{C}$ ;

Маса на електрона в покой: $m_0 = 9{,}1095.10^{-31}\ \mathrm{kg}$ .

а) Разгледайте движението на електрон по кръгова орбита около неподвижно ядро, съдържащо $Z$ протона. Като използвате модела на Бор изразете отношението $v/c$ на скоростта на електрона към скоростта на светлината чрез броя на протоните $Z$ , главното квантово число на орбитата $n$ и фундаментални константи от дадените в края на задачата. [3 т.]

б) Отношението $v/c$ за основната орбита ( $n = 1$ ) в атома на водорода се нарича константа на фината структура и се бележи с $\alpha$ . Като използвате резултата от т. а) пресметнете с минимум четири значещи цифри стойността на константата $\alpha$ . [1 т.]

в) Какъв е максималният брой протони $Z_{\max}$ в ядрото, при който съществува електронна орбита с главно квантово число $n = 1$ ? [1,5 т.]

г) Изразете пълната механична енергия $E$ на електрон (сумата от кинетичната и потенциалната му енергии) за орбита с главно квантово число $n$ в атом с пореден номер $Z$ чрез $\alpha$ , масата в покой $m_0$ на електрона и скоростта $c$ на светлината. [3 т.]

д) Колко нанометра е максималната дължина на вълната на фотон, който може да избие електрон от основната орбита ( $n = 1$ ) в атом с пореден номер $Z = Z_{\max}$ ? [1,5 т.]

Отговори

Решение

а) От условието на Бор следва, че:

2\pi r = n\frac{h}{p}. \qquad [1\ \text{т}]

При движение с релативистки скорости:

(1.1)\qquad p = \frac{mv}{\sqrt{1-(v/c)^2}}, \qquad [1\ \text{т}]

откъдето следва:

\frac{mv}{\sqrt{1-(v/c)^2}} = \frac{nh}{2\pi r}.

От условието $ma_\mathrm{n} = F$ намираме:

(1.2)\qquad \frac{mv^2}{r\sqrt{1-(v/c)^2}} = \frac{k(Ze)e}{r^2} \qquad [0{,}5\ \text{т}]

От уравненията (1.1) и (1.2) получаваме:

(1.3)\qquad \frac{v}{c} = \frac{2\pi k Z e^2}{n h c}. \qquad [0{,}5\ \text{т}]

б) За водородния атом $Z = 1$ . От уравнение (1.3) намираме при $n = 1$ :

(1.4)\qquad \alpha = \frac{v}{c} = \frac{2\pi k e^2}{hc} = 7{,}2969.10^{-3}. \qquad [1\ \text{т}]

в) Понеже $v/c < 1$ от уравнения (1.3) и (1.4) получаваме:

\frac{2\pi k Z e^2}{n h c} = \frac{Z\alpha}{n} < 1. \qquad [0{,}5\ \text{т}]

За да съществува орбита с $n = 1$ е необходимо:

Z < \frac{1}{\alpha} = 137{,}04 \qquad [0{,}5\ \text{т}]

или $Z_{\max} = 137$ . $[0{,}5\ \text{т}]$

г) Кинетичната енергия на електрона е:

E_\mathrm{k} = (\text{пълна релативистка енетгия}) - (\text{енргия в покой})

или

E_k = \frac{m_0c^2}{\sqrt{1-(v/c)^2}} - m_0c^2 = m_0c^2\left(\frac{1}{\sqrt{1-(Z\alpha/n)^2}} - 1\right). \qquad [1\ \text{т}]

Потенциалната енергия на електрона е:

E_p = -\frac{kZe^2}{r} = -\frac{m_0c^2 (Z\alpha/n)^2}{\sqrt{1-(Z\alpha/n)^2}}. \qquad [1\ \text{т}]

След алгебрични преобразования получаваме:

E = E_k + E_p = m_0c^2\left(\sqrt{1-(Z\alpha/n)^2} - 1\right). \qquad [1\ \text{т}]

д) Тъй като $Z_{\max} \approx 1/\alpha$ , при $n = 1$ имаме: $E \approx -m_0c^2$ . $[0{,}5\ \text{т}]$

За да може фотонът да избие електрон от атома с необходимо:

\frac{hc}{\lambda} \ge |E| \qquad [0{,}5\ \text{т}]

или

\lambda_{\min} = \frac{h}{m_0c} = 2{,}46.10^{-3}\ \mathrm{nm}. \qquad [0{,}5\ \text{т}]

Оригинал в Архива: proletni_2004_STproblems.pdf · официални решения: proletni_2004_STsolutions.pdf