Съдържание

НПСФ 2005, 11–12 клас — Задача 3. Позитроний.

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НПСФ 2005

МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА · Национално пролетно състезание по физика · Шумен, 11 – 13 март 2005 г. · Тема за 11-12 клас · 11 март 2005 г. · 10 т.

Условие

Позитроний се нарича система, подобна на водородния атом. Състои се от един електрон и един позитрон, обикалящи по кръгова орбита около центъра на масата на системата. Позитронът е античастица на електрона – има същите характеристики като електрона (например маса), но електричният заряд му е положителен и равен на $+e$ . Известни са следните константи:
заряд на електрона $e = \text{-}1{,}60\cdot 10^{-19}\ \mathrm{C}$
константа на Планк $h = 6{,}63\cdot 10^{-34}\ \mathrm{J.s}$
маса на електрона $m_e = 9{,}11\cdot 10^{-31}\ \mathrm{kg}$
скорост на светлината $c = 3{,}00\cdot 10^8\ \mathrm{m/s}$
диелектрична проницаемост на вакуума $\varepsilon_0 = 8{,}85\cdot 10^{-12}\ \mathrm{C/V.m}$
Намерете:

а) Пълната механична енергия $E$ на позитрония като функция на радиуса $r$ на кръговата орбита. [2 т.]

б) Моментът на импулса $L$ на позитрония като функция на радиуса $r$ на кръговата орбита. [2 т.]

в) Предположете, че моментът на импулса $L$ може да приема само следните стойности: $L = n\hbar$ , ( $n$ – цяло число, $\hbar = \dfrac{h}{2\pi}$ , $h$ – константата на Планк). Намерете при това условие пълната механична енергия $E$ на позитрония като функция на $n$ . Пресметнете стойността на $E$ (в единици eV) при $n = 1$ [2 т.]

г) намерете стойностите на скоростите $v_e$ и $v_p$ съответно на електрона и позитрона при $n = 1$ . Релативистко ли е тяхното движение? [2 т.]

д) Позитроният е нестабилна система. В един момент електронът и позитронът анихилират като се превръщат в два фотона. Намерете и пресметнете енергията на фотоните (в единици eV) с точност няколко процента. [2 т.]

Отговори

Решение

а) Пълната механична енергия $E$ на позитрония е равна на сумата на кинетичната $E_{кин}$ и потенциална $E_{пот}$ енергия на системата. Тъй като електронът и позитронът имат равни маси, центърът на масата на системата и разположен на равни разстояния от тях. Следователно, електронът и позитронът обикалят по една и съща орбита с равни скорости. Кинетичната енергия на системата е

E_{кин} = 2\frac{mv^2}{2} = mv^2 \quad \textbf{[0.5 т]} \qquad (12)

Потенциалната енергия на системата е

E_{пот} = -\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0(2r)} \quad \textbf{[0.5 т]} \qquad (13)

Скоростта на частиците $v$ може да се намери от условието за движение по кръгова траектория:

\frac{mv^2}{r} = \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0(2r)^2} \quad \textbf{[0.5 т]} \qquad (14)

Така за кинетичната енергия получаваме

E_{кин} = \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 4r} \qquad (15)

Пълната механична енергия ще е равна на

E = E_{кин} + E_{пот} = \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 4r} - \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0(2r)} = -\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 4r} \quad \textbf{[0.5 т]} \qquad (16)

б) Моментът на импулса $L$ на позитрония е равен на сумата на моментите на импулсите на електрона и позитрона. Тъй като те имат равни маси, скорости и обикалят по една и съща окръжност, то моментите на импулса им са равни. Следователно,

L = 2mvr \quad \textbf{[1 т]} \qquad (17)

Скоростта $v$ може да се изрази от уравнение (14)

v = \frac{e}{\sqrt{4\pi\varepsilon_0 m 4r}} \ \textbf{[0.5 т]} \qquad (18)

Така за момента на импулса получаваме

L = e\sqrt{\frac{mr}{4\pi\varepsilon_0}} \ \textbf{[0.5 т]} \qquad (19)

в) Използвайки даденото условие за възможните стойности на момента на импулса,

L = n\hbar = e\sqrt{\frac{mr}{4\pi\varepsilon_0}}\,,

получаваме за възможните стойности на радиуса на кръговата орбита

r_n = \frac{4\pi\varepsilon_0 \hbar^2 n^2}{me^2} \quad \textbf{[0.5 т]} \qquad (20)

Замествайки в уравнение (16), получаваме

E_n = -\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 4 r_n} = -\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0\, 4\,\dfrac{4\pi\varepsilon_0 \hbar^2 n^2}{me^2}} = -\frac{me^4}{(4\pi\varepsilon_0)^2 4\hbar^2 n^2} \ \textbf{[1 т]} \qquad (21)

При $n = 1$ , за енергията на най-ниското енергетично ниво ("основното състояние") се получава

E_1 = -\frac{me^4}{(4\pi\varepsilon_0)^2 4\hbar^2} = -\frac{me^4}{16\varepsilon_0^2 h^2} = 1{,}08\cdot 10^{-18}\ \mathrm{J} = 6{,}77\ \mathrm{eV} \quad \textbf{[0.5 т]} \qquad (22)

г) скоростите на електрона и позитрона са равни: $v_e = v_p = v$ (23)
Скоростта $v$ при $n = 1$ може да се намери от уравнения (18) и (20):

v_1 = \frac{e}{\sqrt{4\pi\varepsilon_0 m 4 r_1}} = \frac{e}{\sqrt{4\pi\varepsilon_0 m \dfrac{4\pi\varepsilon_0 \hbar^2}{me^2}}} = \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 \hbar 2} = \frac{e^2}{4\varepsilon_0 h} \quad \textbf{[1 т]} \qquad (24)

= 1{,}09\cdot 10^6\ \mathrm{m/s} \ \textbf{[0.5 т]}\,.

Тъй като $v_1 \ll c$ , движението е нерелативистко. [0.5 т]
д) Тъй като движението е нерелативистко, кинетичната енергия на частиците е много по-малка от енергията им на покой $E_0 = mc^2$ . Тъй като потенциалната енергия на системата по порядък е колкото кинетичната, и тя е много по-малка от енергията им на покой. Следователно с точност няколко процента (колкото ни интересува) можем да приемем, че пълната енергия на системата е равна на енергията на покой на частиците. При тяхната анихилация, тази енергия се превръща в енергията на два фотона. В система, свързана с центъра на масата на позитрония, импулсът му е нула. Следователно импулсите на двата фотона ще бъдат противоположни по посока и равни по големина. А фотони, които имат равни импулси, имат равни енергии. Така от закона за запазване на енергията получаваме

2mc^2 = 2E_\phi \qquad (25)

E_\phi = mc^2 \ \textbf{[1 т]} \quad = 9{,}11\cdot 10^{-31}\,\mathrm{kg}\cdot (3\cdot 10^8\,\mathrm{m/s})^2 = 8{,}12\cdot 10^{-14}\ \mathrm{J} = 0{,}51\ \mathrm{MeV} \quad \textbf{[1 т]}

Оригинал в Архива: proletni_2005_11-12problems.pdf · официални решения: proletni_2005_11-12solutions.pdf