НПСФ 2005, Специална тема — Задача 1. Отскачане на камък от водна повърхност

Министерство на образованието и науката Национално пролетно състезание по физика Шумен, 11.03 – 13.03, 2005 г. СПЕЦИАЛНА ТЕМА · 11 март 2005 г. · 10 т.

Условие

Всекидневният опит ни учи, че за да отскочи камък от гладка водна повърхност, е необходимо скоростта му преди удара да бъде достатъчно голяма и да сключва достатъчно малък ъгъл с повърхността. В тази задача ще изследваме прост модел за удар на твърдо тяло във водна повърхност, който позволява да определите максималния ъгъл и минималната скорост, необходими за отскачане на камъка. Основните предположения, които можете да използвате са:

1. Водната повърхност около камъка остава плоска и хоризонтална по време на целия удар (вж. фиг. 1);
2. По време на удара водата оказва постоянно налягане $p$, еднакво във всички точки от повърхността на камъка, които са потопени под водата:

$p = C\rho v_0^2,$ където $\rho = 1000\ \mathrm{kg/m^3}$ е плътността на водата, $v_0$ – скоростта на камъка, в момента, когато той достига водната повърхност, а $C = 0{,}2$ е безразмерен коефициент на пропорционалност. Хидростатичното налягане на водата се пренебрегва. Разгледайте сферичен камък с маса $m = 0{,}01\ \mathrm{kg}$ и радиус $R = 0{,}01\ \mathrm{m}$, който достига водата със скорост $v_0$, насочена под ъгъл $\theta$ спрямо нейната повърхност (вж. фиг. 1). Дълбочината на потапяне на камъка се задава с координатата $z$ ($z \in [0, 2R]$). Ускорението на свободно падане $g = 9{,}8\ \mathrm{m/s^2}$.

а) Изразете $z$-компонентата на резултантната сила $\vec F$, приложена върху камъка като функция на координатата $z$, на параметрите $C, \rho, m, R, v_0$ и на земното ускорение $g$. [2 т.]

б) Камъкът пада под фиксиран ъгъл $\theta$ спрямо водната повърхност. Получете израз за началната скорост $v_0$, при която по време на удара камъкът се потапя на определена максимална дълбочина $z_{\max}$. Изразете отговора чрез $C, \rho, m, R, g, \theta$ и $z_{\max}$. [3 т.]

в) Намерете най-големия ъгъл $\theta_{\max}$, при който камъкът може да отскочи от водата. Изразете отговора чрез $C, \rho, m, R$ и $g$, и пресметнете неговата числена стойност. [2 т.]

г) Пресметнете най-малката начална скорост $v_{\min}$, при която камъкът може да отскочи от водата в случая на хлъзгащо падане ($\theta \approx 0$). Изразете отговора чрез $C, \rho, m, R$ и $g$, и пресметнете неговата числена стойност. [3 т.]

Отговори

Решение

Оригинал в Архива: proletni_2005_STproblems.pdf · официални решения: proletni_2005_STsolutions.pdf