НПСФ 2005, Специална тема — Задача 3. Свръхпроводящ ли е свръхпроводникът?

Министерство на образованието и науката Национално пролетно състезание по физика Шумен, 11.03 – 13.03, 2005 г. СПЕЦИАЛНА ТЕМА · 11 март 2005 г. · 10 т.

Условие

През 1911 г. холандският физик Камерлинг Онес открива, че при критична температура $T_c = 4{,}1\ \mathrm{K}$ съпротивлението на живака рязко намалява и става практически равно на нула. Тъй като измерването на съпротивлението е свързано с определена грешка, опитът може да даде единствено горна граница за специфичното съпротивление на свръхпроводящия материал. В тази задача ще разгледаме два опита, чрез които може да бъде получена подобна граница.

А) Образец от свръхпроводящ материал има формата на паралелепипед с напречни размери $a = 2\ \mu\mathrm{m}$ и $b = 5\ \mu\mathrm{m}$ (вж. фиг. 3, а). Двата края на образеца са свързани към източник, който поддържа постоянен ток $I = 0{,}1\ \mathrm{A}$ през образеца. Волтметър с вътрешно съпротивление $R_V = 10\ 000\ \Omega$ е свързан към два електрода, разположени по дължината на образеца на разстояние $d = 1\ \mathrm{cm}$ един от друг. При охлаждане на образеца до температура по-ниска от $T_c$, волтметърът отчита нула напрежение напречно между електродите. Получете израз и пресметнете числено горната граница на специфичното съпротивление $\rho$ на свръхпроводника, ако е известно, че минималното напрежение, при което волтметърът отчита ненулева стойност, е $U_{\min} = 1{,}0\cdot10^{-4}\ \mathrm{V}$. [2 т]

Б) От тънка жичка с радиус $a$ е изработен затворен пръстен с радиус $r$ ($r \gg a$), който има съпротивление $R$ и индуктивност $L$. Жичката е поставена във външно магнитно поле с индукция $B_0$, перпендикулярно спрямо равнината на пръстена (фиг. 3, б). Магнитното поле започва да намалява по закона: $B(t) = B_0\left(1 - t/t_0\right),$ докато стане равно на нула ($t_0$ е времето за пълното изключване на магнитното поле). При това в жичката се индуцира ток, който нараства по закона: $I(t) = A\left(1 - e^{-\lambda t}\right),$ където $A$ и $\lambda$ са константи.

• Изразете $A$ и $\lambda$ чрез $R$, $L$, $r$, $B_0$ и $t_0$. [3,5 т]
• Намерете големината на индуцирания ток $I_0$ в момента, когато магнитното поле става равно на нула, ако приемете, че съпротивлението на жичката е пренебрежимо малко. Изразете отговора чрез $L$, $r$ и $B_0$. [1,0 т]
• Пресметнете $I_0$ при $B_0 = 1{,}0\cdot10^{-3}\ \mathrm{T}$, $a = 0{,}50\ \mathrm{mm}$ и $r = 1{,}0\ \mathrm{cm}$. Известно е, че индуктивността на тънка кръгова намотка се дава с израза:

$L = \mu_0 r\left[\ln\left(\frac{r}{a}\right) + 0{,}23\right],$ където $\mu_0 = 4\pi\times10^{-7}\ \mathrm{H/m}$ е магнитната константа. [0,5 т]

В) Оказва се, че след изключване на магнитното поле големината на тока в пръстена намалява с по-малко от 1% в продължение на 1 час. Като използвате числените данни от т. Б), намерете горна граница за специфичното съпротивление на свръхпроводящия материал. [3,0 т]

Упътване: При $|x| \ll 1$ можете да използвате приблизителното равенство: $e^x \approx 1 + x$.

А) Образец от свръхпроводящ материал има формата на паралелепипед с напречни размери $a = 2\ \mu\mathrm{m}$ и $b = 5\ \mu\mathrm{m}$ (вж. фиг. 3, а). Двата края на образеца са свързани към източник, който поддържа постоянен ток $I = 0{,}1\ \mathrm{A}$ през образеца. Волтметър с вътрешно съпротивление $R_V = 10\ 000\ \Omega$ е свързан към два електрода, разположени по дължината на образеца на разстояние $d = 1\ \mathrm{cm}$ един от друг. При охлаждане на образеца до температура по-ниска от $T_c$, волтметърът отчита нула напрежение напречно между електродите. Получете израз и пресметнете числено горната граница на специфичното съпротивление $\rho$ на свръхпроводника, ако е известно, че минималното напрежение, при което волтметърът отчита ненулева стойност, е $U_{\min} = 1{,}0\cdot10^{-4}\ \mathrm{V}$. [2 т.]

Б) • Изразете $A$ и $\lambda$ чрез $R$, $L$, $r$, $B_0$ и $t_0$. [3,5 т] • Намерете големината на индуцирания ток $I_0$ в момента, когато магнитното поле стане равно на нула, ако приемете, че съпротивлението на жичката е пренебрежимо малко. Изразете отговора чрез $L$, $r$ и $B_0$. [1,0 т] • Пресметнете $I_0$ при $B_0 = 1{,}0\cdot10^{-3}\ \mathrm{T}$, $a = 0{,}50\ \mathrm{mm}$ и $r = 1{,}0\ \mathrm{cm}$. Известно е, че индуктивността на тънка кръгова намотка се дава с израза: $L = \mu_0 r\left[\ln\left(\frac{r}{a}\right) + 0{,}23\right],$ където $\mu_0 = 4\pi\times10^{-7}\ \mathrm{H/m}$ е магнитната константа. [5 т.]

В) Оказва се, че след изключване на магнитното поле големината на тока в пръстена намалява с по-малко от 1% в продължение на 1 час. Като използвате числените данни от т. Б), намерете горна граница за специфичното съпротивление на свръхпроводящия материал. [3 т.]

Отговори

Решение

Оригинал в Архива: proletni_2005_STproblems.pdf · официални решения: proletni_2005_STsolutions.pdf