Съдържание

НПСФ 2005, Специална тема — Задача 3. Свръхпроводящ ли е свръхпроводникът?

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НПСФ 2005

Министерство на образованието и науката · Национално пролетно състезание по физика · Шумен, 11.03 – 13.03, 2005 г. · СПЕЦИАЛНА ТЕМА · 11 март 2005 г. · 10 т.

Условие

През 1911 г. холандският физик Камерлинг Онес открива, че при критична температура $T_c = 4.1\ \mathrm{K}$ съпротивлението на живака рязко намалява и става практически равно на нула. Тъй като измерването на съпротивлението е свързано с определена грешка, опитът може да даде единствено горна граница за специфичното съпротивление на свръхпроводящия материал. В тази задача ще разгледате два експеримента, чрез които може да бъде получена подобна оценка.

Паралелепипеден образец с напречни размери a и b, през който тече ток I; волтметър V е свързан към два електрода, разстоянието между които е d. — Фиг. 3, а

Затворен кръгов пръстен от тънка жичка с радиус a, в центъра на който е показано външното магнитно поле B0 (символ ⊙, излизащо от страницата); радиусът r е отбелязан със стрелка от центъра към пръстена. — Фиг. 3, б

А) Образец от свръхпроводящ материал има формата на паралелепипед с напречни размери $a = 2\ \mu\mathrm{m}$ и $b = 5\ \mu\mathrm{m}$ (вж. фиг. 3, а). Двата края на образеца са свързани към източник, който поддържа постоянен ток $I = 0{,}1\ \mathrm{A}$ през образеца. Волтметър с вътрешно съпротивление $R_V = 10\ 000\ \Omega$ е свързан към два електрода, разположени по дължината на образеца на разстояние $d = 1\ \mathrm{cm}$ един от друг. При охлаждане на образеца до температура по-ниска от $T_c$ , волтметърът отчита нулево напрежение между електродите. Получете израз и пресметнете числено горната граница на специфичното съпротивление $\rho$ на свръхпроводника, ако е известно, че минималното напрежение, при което волтметърът отчита ненулева стойност, е $U_{\min} = 1{,}0\cdot10^{-4}\ \mathrm{V}$ . [2 т.]

Б) От тънка жичка с радиус $a$ е изработен затворен пръстен с радиус $r$ ( $r \gg a$ ), който има съпротивление $R$ и индуктивност $L$ . Жичката е поставена във външно магнитно поле с индукция $B_0$ , перпендикулярна спрямо равнината на пръстена (фиг. 3, б). Магнитното поле започва да намалява по закона:

B(t) = B_0\left(1 - t/t_0\right),

докато стане равно на нула ( $t_0$ е времето за пълното изключване на магнитното поле). При това в жичката се индуцира ток, който нараства по закона:

I(t) = A\left(1 - e^{-\lambda t}\right),

където $A$ и $\lambda$ са константи.

Изразете $A$ и $\lambda$ чрез $R$ , $L$ , $r$ , $B_0$ и $t_0$ . [3,5 т]
Намерете големината на индуцирания ток $I_0$ в момента, когато магнитното поле става равно на нула, ако приемете, че съпротивлението на жичката е пренебрежимо малко. Изразете отговора чрез $L$ , $r$ и $B_0$ . [1,0 т]
Пресметнете $I_0$ при $B_0 = 1{,}0\cdot10^{-3}\ \mathrm{T}$ , $a = 0{,}50\ \mathrm{mm}$ и $r = 1{,}0\ \mathrm{cm}$ . Известно е, че индуктивността на тънка кръгова намотка се дава с израза:

L = \mu_0 r\left[\ln\left(\frac{r}{a}\right) + 0{,}23\right],

където $\mu_0 = 4\pi\times10^{-7}\ \mathrm{H/m}$ е магнитната константа. [5 т.]

В) Оказва се, че след изключване на магнитното поле големината на тока в пръстена намалява с по-малко от 1% в продължение на 1 час. Като използвате числените данни от т. Б), намерете горна граница за специфичното съпротивление на свръхпроводящия материал. [3 т.]

Упътване: При $|x| \ll 1$ можете да използвате приблизителното равенство:

e^x \approx 1 + x

Отговори

Решение

А) Даденият тип свързване е еквивалентен на следната схема: [0,2 т]
където:

R_S = \frac{\rho d}{ab}

[0,2 т]
е съпротивлението на слоя свръхпроводящо вещество между двата електрода. Следователно, при зададен ток $I$ напрежението между електродите е:

U = \frac{R_S R_V}{R_S + R_V}\, I.

[0,2 т]
Понеже $U < U_{\min}$ , получаваме

\frac{R_S R_V}{R_S + R_V} I < U_{\min}

[0,2 т]
или

R_S < \frac{U_{\min} R_V}{I R_V - U_{\min}}.

[0,2 т]
От последното неравенство намираме:

\rho < \frac{U_{\min} R_V ab}{(I R_V - U_{\min})d}.

[0,5 т]
След като заместим с числените стойности, и като вземем предвид, че $U_{\min} \ll IR_V$ , получаваме:

\rho < \frac{1{,}0\cdot10^{-4}\ \mathrm{V}\cdot 2\cdot10^{-6}\ \mathrm{m}\cdot 5\cdot10^{-6}\ \mathrm{m}}{0{,}1\ \mathrm{A}\cdot 0{,}01\ \mathrm{m}} = 1{,}0\cdot10^{-12}\ \Omega\cdot\mathrm{m}.

[0,5 т]

Б) Избираме положителна посока на индуцирания ток, съобразена с правилото на Ленц, т. е. магнитното поле на индуцирания ток се стреми да компенсира намаляването на външното магнитно поле:

От II правило на Кирхов намираме:
(1)

RI = -\frac{d\left(\pi r^2 B\right)}{dt} - L\frac{dI}{dt},

[1 т]
където първото събираемо в дясната част е ЕДН, индуцирано поради промяна на външното магнитно поле, а второто – ЕДН на самоиндукция. Като вземем предвид, че:

\frac{d\left(\pi r^2 B\right)}{dt} = \pi r^2\frac{dB}{dt} = -\pi r^2\frac{B_0}{t_0}

[0,5 т]
и заместим в (1), получаваме:
(2)

L\frac{dI}{dt} + RI = \frac{\pi r^2 B_0}{t_0}

[0,5 т]
Заместваме в полученото диференциално уравнение израза за тока $I(t)$ , зададен в условието, и получаваме следното равенство:
(3)

\left(\lambda L - R\right)Ae^{-\lambda t} + AR = \frac{\pi r^2 B_0}{t_0}.

[0,5 т]
Понеже изразът в дясната страна не зависи от времето, за коефициента $\lambda$ е изпълнено:
(4)

\lambda = \frac{R}{L}.

[0,5 т]
От друга страна, за да бъде изпълнено равенството (3), е необходимо:
(5)

A = \frac{\pi r^2 B_0}{R t_0}.

[0,5 т]
В момента на изключване на магнитното поле ( $t = t_0$ ) големината на тока през намотката е:
(6)

I_0 = \frac{\pi r^2 B_0}{R t_0}\left(1 - e^{-\frac{R}{L}t_0}\right).

[0,5 т]
Ако съпротивлението на намотката е много малко, изразът в скобите е приблизително:

1 - e^{-\frac{R}{L}t_0} \approx \frac{R t_0}{L},

и след като заместим в (6) намираме:
(7)

I_0 = \frac{\pi r^2 B_0}{L}.

[0,5 т]
При зададения размер на жичката, намираме, че индуктивността на намотката е:

L = 4\pi{\cdot}10^{-7}\ \mathrm{H/m}\cdot 1{,}0\cdot10^{-2}\ \mathrm{m}\cdot(\ln(20) + 0{,}23) \approx 4{,}1\cdot10^{-8}\ \mathrm{H},

откъдето пресмятаме тока $I_0$ :

I_0 = 7{,}7\ \mathrm{A}.

[0,5 т]

В) След изключване на магнитното поле, ЕДН в намотката се дължи единствено на самоиндукция и промяната на тока се описва с уравнението:
(8)

RI = -L\frac{dI}{dt}.

[0,5 т]
Следователно, токът намалява по експоненциален закон:
(9)

I = I_0 e^{-\frac{R}{L}t}.

[0,5 т]
Понеже относителното изменение на тока е малко, можем да запишем:

e^{-\frac{R}{L}t} \approx 1 - \frac{R}{L}t,

откъдето получаваме:
(10)

\frac{R I_0 t}{L} \approx I_0 - I.

[0,5 т]
Тъй като $I_0 - I < 0{,}01 I$ , следва, че:
(11)

\frac{R t}{L} < 0{,}01.

[0,5 т]
Като вземем предвид, че $R = \dfrac{\rho(2\pi r)}{\pi a^2} = \dfrac{2\rho r}{a^2}$ , за горната граница на $\rho$ получаваме:
(12)

\rho < \frac{0{,}005\, L a^2}{r t}.

[0,5 т]
При $L = 4{,}1\cdot10^{-8}\ \mathrm{H}$ и $t = 1\ \mathrm{h} = 3600\ \mathrm{s}$ , намираме:

\rho < 1{,}4\cdot10^{-18}\ \Omega\cdot\mathrm{m}.

[0,5 т]

Еквивалентна схема: два резистора, R_V (горе) и R_S (долу), свързани успоредно; токът I влиза отдясно и излиза отляво.

Кръгов пръстен от тънка жичка; стрелка по пръстена показва посоката на индуцирания ток I (обратно на часовниковата стрелка); в центъра е външното магнитно поле B0 (символ ⊙, насочено към читателя).

Оригинал в Архива: proletni_2005_STproblems.pdf · официални решения: proletni_2005_STsolutions.pdf