Съдържание

НПСФ 2006, 10. клас — Задача 1. Човек и куче

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НПСФ 2006

Национално пролетно състезание по физика 2006, Пловдив — тема за 10. клас · 17 март 2006 г. · 10 т.

Условие

Човек разхожда кучето си. В един момент и двамата се намират на разстояние $L$ от едно дърво. Човекът върви равномерно със скорост $u$ към дървото. Кучето от положение на покой започва да бяга равноускорително. След като достигне максимална скорост, продължава да бяга равнозакъснително и спира при дървото. Веднага тръгва обратно към човека, бягайки по същия начин така, че да спре точно, когато достигне човека. Големината на ускорението, с което се движи кучето е постоянна през цялото време и е равна на $a$ . Намерете:

а) минималната стойност на ускорението на кучето $a_{\min}$ , когато гореописаната среща е възможна. [2 т.]

б) разстоянието $d$ , което изминава човека до срещата с кучето. [4 т.]

в) пресметнете $d$ , ако $L = 36$ m, $u = 1$ m/s и $a = 4$ m/s $^2$ [1 т.]

г) пресметнете максималната скорост $V_{\max}$ , която достига кучето, движейки се към човека, като използвате стойностите на величините от подусловие в) [3 т.]

Отговори

Решение

а) За да успее кучето да срещне човека по описания в условието начин, трябва времето $t_к$ , за което кучето бяга до дървото, да е по-малко от времето $t_ч$ , за което човекът достига дървото:

t_к < t_ч \qquad \textbf{[0,5 т]} \qquad (1.1)

Тъй като $t_ч = \dfrac{L}{u}$ , а

t_к = 2\sqrt{\frac{2\dfrac{L}{2}}{a}} = 2\sqrt{\frac{L}{a}} \qquad \textbf{[0,5 т]} \qquad (1.2)

(времената и пътищата, за които кучето се движи равноускорително и равнозакъснително, са равни), то

2\sqrt{\frac{L}{a}} < \frac{L}{u},\ \text{откъдето} \qquad (1.3)

a_{\min} > \frac{4u^2}{L} \qquad \textbf{[1 т]} \qquad (1.4)

б) Разстоянието $d$ , което изминава човека до срещата с кучето, може да се пресметне по следния начин. Ако с $t_1$ означим времето, за което кучето стига дървото, а с $t_2$ — времето, за което кучето стига от дървото до човека, то

d = u(t_1 + t_2) \qquad \textbf{[0,5 т]},\ \text{като} \qquad (1.5)

t_1 = 2\sqrt{\frac{L}{a}} \quad \textbf{[0,5 т]}, \qquad \text{а}\ \ t_2 = 2\sqrt{\frac{L-d}{a}} \quad \textbf{[0,5 т]} \qquad (1.6)

Замествайки (1.6) в (1.5), получаваме

d = u\left(2\sqrt{\frac{L}{a}} + 2\sqrt{\frac{L-d}{a}}\right) \qquad \textbf{[1 т]} \qquad (1.7)

Преобразувайки (1.7) до

d - 2u\sqrt{\frac{L}{a}} = 2u\sqrt{\frac{L-d}{a}}

и повдигайки двете страни на квадрат, получаваме

d^2 - 4du\sqrt{\frac{L}{a}} + 4u^2\frac{L}{a} = 4u^2\frac{L}{a} - 4u^2\frac{d}{a} \qquad (1.8)

След съкръщаване и прегрупиране на членовете, получаваме

d\left[d - 4u\left(\sqrt{\frac{L}{a}} - \frac{u}{a}\right)\right] = 0,\ \text{откъдето} \qquad (1.9)

d = 4u\left(\sqrt{\frac{L}{a}} - \frac{u}{a}\right) \qquad \textbf{[1,5 т]} \qquad (1.10)

в) При дадените стойности: $L = 36$ m, $u = 1$ m/s и $a = 4$ m/s $^2$ , от (1.10) за $d$ се получава

d = 4\cdot 1\,m/s\left(\sqrt{\frac{36\,m}{4\,m/s^2}} - \frac{1\,m/s}{4\,m/s^2}\right) = 4\left(3 - \frac{1}{4}\right)m = 11\ \text{m} \qquad \textbf{[1 т]} \qquad (1.11)

г) Максималната скорост $V_{\max}$ , която достига кучето, движейки се към човека, е в точката – среда на изминатия път от дървото до човека, т.е. когато кучето е изминало път $s = \dfrac{L-d}{2}$ . [1 т] Тъй като

V_{\max} = \sqrt{2as} = \sqrt{2a\frac{(L-d)}{2}},\ \text{за}\ V_{\max}\ \text{се получава} \qquad (1.12)

V_{\max} = \sqrt{4\,m/s^2\,(36\,m - 11\,m)} = 10\,m/s \qquad \textbf{[2 т]} \qquad (1.13)

Оригинал в Архива: proletni_2006_10problems.pdf · официални решения: proletni_2006_10solutions.pdf