Съдържание

НПСФ 2006, 10. клас — Задача 3. Платонови тела, направени от проводници (две независими подусловия)

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НПСФ 2006

Национално пролетно състезание по физика 2006, Пловдив — тема за 10. клас · 17 март 2006 г. · 10 т.

Условие

А) От шест еднакви проводници, всеки с електрично съпротивление $R$ , е направен тетраедър (тяло с 4 върха, 6 равни ръба и 4 стени, всяка от които е равностранен триъгълник) (виж фиг.1).

Б) От 12 еднакви проводници, всеки с електрично съпротивление $R$ , е направен октаедър (тяло с 6 върха, 12 равни ръба и 8 стени, всяка от които е равностранен триъгълник) (виж фиг.2).

а) Нека измерваме електричното съпротивление на тетраедъра между върховете A и B. Ако съпротивлението между върховете A и B не се променя при прекъсване на един проводник (или няколко проводника), кой е той (кои са те)? [1 т.]

б) Колко ще е измереното съпротивление $R_{AB}$ между A и B? [2 т.]

в) Нека измерваме електричното съпротивление на октаедъра между двата срещуположни върха C и D. Ако съпротивлението между върховете C и D не се променя при прекъсване на един проводник (или няколко проводника), кой е той (кои са те)? [2 т.]

г) Колко ще е измереното съпротивление $R_{CD}$ между C и D? [2 т.]

д) Колко ще е измереното съпротивление $R_{CA}$ между двата съседни върха C и A (без да се прекъсват никакви проводници)? [3 т.]

Схема на тетраедър с върхове A, B, C, D; всеки от шестте ръба е проводник със съпротивление R. — Фиг.1 — тетраедър от шест еднакви проводника с върхове A, B, C и D.

Схема на октаедър с върхове A, B, C, D, E, F; всеки от дванадесетте ръба е проводник със съпротивление R. — Фиг.2 — октаедър от 12 еднакви проводника с върхове A, B, C, D, E и F.

Отговори

Решение

А) Случай на тетраедър (Фиг. 3)

а) При подаване на напрежение между върховете A и B, тъй като проводниците AC и AD са еквивалентни, по тях ще протекат равни токове. Следователно напрежението $U_{CD}$ между върховете C и D ще бъде нула и по проводника CD няма да протече ток [0,5 т]. Следователно, ако проводникът CD се прекъсне (или изобщо се махне от електрическата схема), съпротивлението между върховете A и B няма да се промени [0,5 т].

б) Без проводника CD схемата представлява три успоредно свързани проводника (AB, ADB и ACB) съответно със съпротивления $R$ , $2R$ и $2R$ [1 т]. Следователно измереното съпротивление $R_{AB}$ между A и B ще бъде

\frac{1}{R_{AB}} = \frac{1}{R} + \frac{1}{2R} + \frac{1}{2R},\ \text{откъдето} \qquad (3.1)

R_{AB} = \frac{R}{2} \qquad \textbf{[1 т]} \qquad (3.2)

Б) Случай на октаедър (Фиг. 4)

в) При подаване на напрежение между върховете C и D, тъй като групите проводници DA, DE, DB и DF от една страна, и AC, EC, BC и FC от друга страна, са еквивалентни, по тях ще протекат равни токове. Следователно напреженията $U_{AE}$ , $U_{EB}$ , $U_{BF}$ и $U_{FA}$ съответно между върховете A и E, E и B, B и F, и F и A ще бъдат нула и по проводниците AE, EB, BF и FA няма да протече ток [1 т]. Следователно, ако проводниците AE, EB, BF и FA се прекъснат (или изобщо се махнат от електрическата схема), съпротивлението между върховете C и D няма да се промени [1 т].

г) Без проводниците AE, EB, BF и FA, схемата представлява четири успоредно свързани проводника (DAC, DEC, DBC и DFC), всеки със съпротивление $2R$ [1 т]. Следователно измереното съпротивление $R_{CD}$ между C и D ще бъде

\frac{1}{R_{CD}} = \frac{1}{2R} + \frac{1}{2R} + \frac{1}{2R} + \frac{1}{2R} = \frac{2}{R},\ \text{откъдето} \qquad (3.3)

R_{CD} = \frac{R}{2} \qquad \textbf{[1 т]} \qquad (3.4)

д) За да се намери съпротивлението $R_{CA}$ между двата съседни върха C и A (без да се прекъсват никакви проводници) е удобно октаедъра да се „смачка“ в равнина за да се види по-добре кои проводници са еквивалентни (поставени в еднакви условия и по тях ще текат равни токове). Това е направено на фиг. 5 (върховете E и F са леко отместени за да се виждат по-добре).

Квадрат с върхове D, B, A, C и вътрешни точки F и E, свързани с всички върхове на квадрата. — Фиг. 5 — октаедърът, „смачкан“ в равнина (върховете E и F са леко отместени).

Еквивалентна схема: между D и B са свързани успоредно клоновете DB, DF1B и DF2B, а между A и C — AC, AE1C и AE2C, като D и A, B и C са свързани директно. — Фиг. 6 — еквивалентната схема след „разкъсване“ на възлите E и F на $E_1$ , $E_2$ , $F_1$ и $F_2$ .

От фиг. 5 се вижда, че групата проводници AE, EC, AF и FC, както и групата проводници DF, FB, DE и EB, са еквивалентни и във всяка група от тези проводници трябва да текат равни токове. Ако токовете по AE и EC са равни, можем мислено да „разкъсаме“ точка E на две точки $E_1$ и $E_2$ и съпротивлението на схемата няма да се промени. Същото „разделяне“ може да се направи и с точка F (на две точки $F_1$ и $F_2$ ). Така се стига да еквивалентната схема, представена на фиг. 6 [1 т]. На така получената схема лесно може де са определи съпротивлението, тъй като е съставена само от комбинации успоредно свързани и последователно свързани проводници.

Съпротивлението $R_{DB}$ между точките D и B е съпротивлението на успоредно свързаните проводници DB, $DF_1B$ и $DF_2B$ , именно:

\frac{1}{R_{DB}} = \frac{1}{R} + \frac{1}{2R} + \frac{1}{2R} = \frac{2}{R} \qquad (3.5)

Съпротивлението на клона ADBC е съпротивлението на последователно свързаните съпротивления $R_{AD}$ , $R_{DB}$ и $R_{BC}$ . Следователно

R_{ADBC} = R_{AD} + R_{DB} + R_{BC} = R + \frac{R}{2} + R = \frac{5R}{2} \qquad (3.6)

Цялото съпротивление между точките A и C е съпротивлението на успоредно свързаните $R_{ADBC}$ , $R_{AE1C}$ , $R_{AE2C}$ и $R_{AC}$ , следователно

\frac{1}{R_{ACsum}} = \frac{1}{R_{ADBC}} + \frac{1}{R_{AE_1C}} + \frac{1}{R_{AE_2C}} + \frac{1}{R_{AC}} = \frac{2}{5R} + \frac{1}{2R} + \frac{1}{2R} + \frac{1}{R} = \frac{24}{10R} = \frac{12}{5R} \qquad (3.7)

Следователно измереното съпротивление $R_{CA}$ между двата съседни върха C и A ще бъде

R_{CA} = \frac{5}{12}R \qquad \textbf{[2т]} \qquad (3.8)

Оригинал в Архива: proletni_2006_10problems.pdf · официални решения: proletni_2006_10solutions.pdf