Съдържание

НПСФ 2006, 11–12 клас — Задача 2

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НПСФ 2006

Национално пролетно състезание по физика 2006, Пловдив — тема за 11. – 12. клас · 18 март 2006 г. · 10 т.

Условие

Две трупчета, всяко с маса $m = 500\ \mathrm{g}$ , са свързани с пружина с коефициент на еластичност $k = 100\ \mathrm{N/m}$ , както е показано на фиг. 2. Долното трупче лежи на хоризонтална равнина, а върху горното пада тяло с маса $m$ от височина $h = 20\ \mathrm{cm}$ , прилепва към него и започва да извършва хармонично трептене. Определете:

При пресмятанията да се използва стойността на земното ускорение $g = 10\ \mathrm{m/s^2}$ .

а) честотата $\nu$ и периода T на хармоничното трептене; (2 т.)

Две трупчета с маса m, свързани с пружина с коефициент k; долното лежи на пода, а върху горното пада тяло от височина h. — фиг. 2

б) амплитудата A на трептене; (4 т.)

в) максималната височина d на издигане на горното тяло над първоначалното му положение; (1 т.)

г) минималната височина H, от която трябва да се пусне тялото, за да подскочи долното трупче. (3 т.)

Отговори

Решение

а) Масата на тялото, което извършва хармонично трептене е $M = 2m$ . Следователно

\nu = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{2m}} \approx 1{,}6\ \mathrm{Hz}, \qquad \text{(1 т.)}

T = \frac{1}{\nu} = 2\pi\sqrt{\frac{2m}{k}} \approx 0{,}63\ \mathrm{s}. \qquad \text{(1 т.)}

б) Равновесното положение се намира на разстояние $x_0 = \dfrac{mg}{k} \approx 5\ \mathrm{cm}$ (0,5 т.) под първоначалното положение на горното трупче. От закона за запазване на енергията при хармонично трептене имаме

\frac{2mu^2}{2} + \frac{kx_0^2}{2} = \frac{kA^2}{2}. \qquad \text{(1 т.)}

Скоростта $u$ ще намерим като отчетем, че ударът между падащото тяло и горното трупче е абсолютно нееластичен, т.е.

mv = 2mu. \qquad \text{(1 т.)}

От друга страна имаме

v = \sqrt{2gh}, \qquad \text{(0,5 т.)}

откъдето намираме

A = \sqrt{x_0^2 + \frac{mgh}{k}} = \sqrt{x_0^2 + x_0 h} \approx 11{,}2\ \mathrm{cm}. \qquad \text{(1 т.)}

в) Максималната височина $d$ на издигане над първоначалното положение е

d = A - x_0 = 6{,}2\ \mathrm{cm}. \qquad \text{(1 т.)}

г) Минималната височина $H$ се определя от условието при максимално разтягане на пружината тя да действа на долното трупче със сила $F = kx_0$ (1 т.).

Това се получава при амплитуда на трептене $A = 3x_0$ (1 т.), откъдето следва

H = \frac{8mg}{k} = 40\ \mathrm{cm}. \qquad \text{(1 т.)}

Оригинал в Архива: proletni_2006_11-12problems.pdf · официални решения: proletni_2006_11-12solutions.pdf