НПСФ 2006, Специална тема — Задача 1. Разхлабена струна

Национално пролетно състезание по физика, Пловдив, 17 – 19.03.2006 г. — Специална тема · 17 март 2006 г. · 10 т.

Условие

Единият край на струна е закрепен неподвижно, а другият – за шайба с маса $M$, която може да се хлъзга без триене по спица, (фиг. 1). В изправено състояние струната е перпендикулярна на спицата, дължината й е $L$, линейната плътност на масата й (маса на единица дължина) е $\mu$, а силата на опъване – $T$. Струната трепти с толкова малка амплитуда ($A \ll L$), че можете да приемете силата на опъване за постоянна по големина.

При тези условия собствените трептения на струната са стоящи вълни, при които отклонението на точка, разположена на разстояние $x$ от неподвижния край, се дава с израза:

(1) $\quad y(x,t) = A\sin(kx)\sin(\omega t)$,

където $k = 2\pi/\lambda$ е вълновият вектор на стоящата вълна, а $\omega$ – кръговата честота на трептене.

Упътване:

• Силата на опъване е толкова голяма, че можете да пренебрегнете силата на тежестта във всички подусловия на задачата.

• Скоростта $c$ на разпространение на напречни вълни по опъната струна се дава с израза:

  (3) $\quad c = \sqrt{\dfrac{T}{\mu}}$.

• Ако решението изисква, можете да използвате предоставената ви милиметрова хартия. В този случай задължително предайте милиметровата хартия заедно с останалите листа от решението!

а) Получете израз за ускорението $a$, с което се движи шайбата, като функция на времето $t$ и на параметрите $A$, $k$, $L$, $T$. [2 т.]

б) Докажете, че за да съществува стояща вълна в струната, вълновият й вектор $k$ трябва да приема стойности, които се определят от уравнението:

(2) $\quad \operatorname{cotg}(kL) = \dfrac{Mk}{\mu}$. [4 т.]

в) Пресметнете числено най-ниската (основна) честота $\nu$ на собствено трептене на струната при $T = 100$ N, $\mu = 2,0.10^{-2}$ kg/m, $M = 0,01$ kg, $L = 0,5$ m. [4 т.]

Отговори

Решение

---

Оригинал в Архива: proletni_2006_STproblems.pdf · официални решения: proletni_2006_STsolutions.pdf