Съдържание

НПСФ 2006, Специална тема — Задача 2. Ако имаше магнитни заряди

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НПСФ 2006

Национално пролетно състезание по физика, Пловдив, 17 – 19.03.2006 г. — Специална тема · 17 март 2006 г. · 10 т.

Условие

Според установените схващания магнитното поле се поражда от движещи се електрични заряди. Въпреки това, няма фундаменталин закон на физиката, който изключва съществуването на свободни магнитни заряди. Един точков магнитен заряд $g$ би създавал в точка с радиус-вектор $\vec{r}$ магнитно поле с индукция $\vec{B}$ , която се задава с израза:

(1) $\quad \vec{B} = \dfrac{\mu_0 g}{4\pi r^3}\,\vec{r}$ ,

където $\mu_0 = 4\pi\times 10^{-7}$ H/m е магнитната константа. За полето на система от магнитни заряди би била изпълнена теоремата на Гаус:

(2) $\quad \Phi_B = \mu_0 g_t$ ,

където $\Phi_B$ е потокът на магнитното поле през дадена затворена повърхност, а $g_t$ е пълният магнитен заряд, заграден от тази повърхност.

Приемете, че индуктивността на пръстена е пренебрежимо малка.

Фундаментални константи:

елементарен електричен заряд, $e = 1,60.10^{-19}$ C;
константа на Планк, $h = 6,64.10^{-34}$ J.s;
магнитна константа, $\mu_0 = 4\pi\times 10^{-7}$ H/m.

Упътване: Ако е нужно, можете да използвате, че:

Пространственият ъгъл $\Omega$ , който загражда конус с ъгъл $\alpha$ между оста му и образуващата, се дава с израза: $\Omega = 2\pi\left(1-\cos\alpha\right)$ .
$\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{\infty}\dfrac{dz}{(a^2+z^2)^3} = \dfrac{3\pi}{8a^5}$ .

Конус, изчертан с върха наляво и кръгова основа надясно; през него минава пунктирана ос със стрелка надясно; между оста и горната образуваща е нанесена дъга с означение $\alpha$. Вляво горе се вижда краят „α).“ на съседната формула от текста. — Скица към Упътването: конус с ъгъл $\alpha$ между оста и образуващата, който загражда пространствен ъгъл $\Omega = 2\pi(1-\cos\alpha)$ .

а) Изразете единицата за магнитен заряд в системата SI чрез единиците за електричен заряд, дължина и време. [2 т.]

б) Електрон се движи перпендикулярно на еднородното магнитно поле в “магнитен кондензатор” – две успоредни пластини, върху които са разпределени равномерно магнитни заряди с еднакви големини и противоположни знаци (фиг. 2.1).

Като използвате правилото за квантуване на Бор, докажете, че общият магнитен заряд, който се съдържа в участък от пластината с площ $S$ , равна на площта на електронната орбита, е целочислено кратен на определен “елементарен” магнитен заряд $g_\mathrm{e}$ . Изразете $g_\mathrm{e}$ чрез фундаменталните константи, дадени в края на задачата и пресметнете неговата числена стойност. [4 т.]

Две успоредни хоризонтални равнини, изчертани в перспектива; в горната е защрихован (сив) елипсовиден участък с надпис $S$, ограден с пунктир; между равнините — стрелки надолу, изобразяващи полето, пунктирана елипсовидна орбита и черно кръгче с надпис $e$; отдолу надпис „Фиг. 2.1“. — Фиг. 2.1. „Магнитен кондензатор“ от две успоредни пластини; електронът $e$ описва орбита с площ $S$ в еднородното магнитно поле между тях.

в) Частица с елементарен магнитен заряд $g_\mathrm{e}$ се движи с постоянна скорост v по оста $z$ на проводящ пръстен с радиус $a$ и съпротивление $R$ (фиг. 2.2). Частицата започва движение на много голямо разстояние от пръстена ( $z = -\infty$ ), преминава през центъра му ( $z = 0$ ) и се отдалечава на много голямо разстояние от него ( $z = +\infty$ ).

Получете израз за индуцираното ЕДН в пръстена, като функция на координатата $z$ на частицата и параметрите $g_\mathrm{e}$ , v, $a$ , $\mu_0$ . [2 т]
Получете израз за пълното количество топлина $Q$ , което се отделя в пръстена при преминаване на частицата чрез параметрите v, $a$ , $R$ , константата на Планк $h$ и елементарния електричен заряд $e$ . . [4 т.]

Хоризонтална ос $z$ със стрелка надясно; вляво черно кръгче с надпис $g_\mathrm{e}$ и дебела стрелка надясно с означение v; в средата вертикална елипса (пръстенът) с надпис $R$ горе вдясно, радиус-стрелка с надпис $a$ от центъра, означен с 0; отдолу надпис „Фиг. 2.2“. — Фиг. 2.2. Частица с магнитен заряд $g_\mathrm{e}$ , движеща се със скорост v по оста $z$ на проводящ пръстен с радиус $a$ и съпротивление $R$ .

Отговори

Решение

а) Сравняваме изразите за големината на магнитнота индукция на точков магнитен заряд с израза за магнитната индукция на малък участък с дължина $dl$ от проводник, по който тече ток $I$ :

$B = \dfrac{\mu_0 g}{4\pi r^2}$ (точков заряд) и $dB = \dfrac{\mu_0 I\,dl\sin\theta}{4\pi r^2}$ (токов елемент). [1 т]

Оттук следва, че:

$[g] =$ A.m [0,5 т]

Понеже 1 A = 1 C/s, следва, че единицата за магнитен заряд в SI е:

$[g] =$ C.m/s. [0,5 т]

б) Като използваме теоремата на Гаус за полето в “магнитния кондензатор”, получаваме за магнитната индукция в кондензатора:

(1) $\quad B = \mu_0\gamma$ , [1 т]

където $\gamma = g/S$ е повърхнинната плътност на магнитния заряд върху положителната плоча. От втория принцип на Нютон:

(2) $\quad \dfrac{mv^2}{R} = evB$ [0,25 т]

намираме радиуса на орбитата на електрона:

(3) $\quad R = \dfrac{mv}{eB} = \dfrac{mv}{\mu_0 e\gamma}$ . [0,25 т]

От условието за квантуване на Бор за момента на импулса на електрона е изпълнено:

(4) $\quad mvR = \dfrac{nh}{2\pi}$ . [1 т]

От уравнения (3) и (4) следва:

(5) $\quad \mu_0 e\gamma R^2 = \dfrac{nh}{2\pi}$ .

Площта на електронната орбита е $S = \pi R^2$ , а общият заряд, който се съдържа в тази площ, е:

(6) $\quad g = \gamma\pi R^2$ . [0,5 т]

Като използваме уравнение (5), получаваме:

(7) $\quad g = n\dfrac{h}{2\mu_0 e}$ , $\quad n = 0,1, 2, 3, \ldots$

Следователно пълният заряд е кратен на елементарен магнитен заряд:

(8) $\quad g_e = \dfrac{h}{2\mu_0 e}$ . [0,5 т]

Като заместим с числените стойности на константите в системата SI, пресмятаме:

(9) $\quad g_e = \dfrac{6,64.10^{-34}\ \text{J.s}}{2.4.\pi.10^{-7}\ \text{H/m}\ .1,60.10^{-19}\ \text{C}} \approx 1,65.10^{-9}$ C.m/s. [0,5 т]

в) 1 вариант: Когато зарядът е в точка с координата $z$ , пръстенът огражда пространствен ъгъл с връх в заряда и с големина (вж. фиг. 2.1):

(10) $\quad \Omega = 2\pi(1-\cos\alpha) = 2\pi\left(1 + \dfrac{z}{\sqrt{z^2+a^2}}\right)$ [0,25 т]

Магнитният поток, който преминава през пръстена е:

(11) $\quad \Phi(z) = \dfrac{\mu_0 g\Omega}{4\pi} = \dfrac{\mu_0 g}{2}\left(1 + \dfrac{z}{\sqrt{z^2+a^2}}\right)$ . [0,25 т]

Хоризонтална ос $z$; вляво черно кръгче $g_\mathrm{e}$ с дебела стрелка v; от него излизат две прави до горния и долния край на вертикална елипса (пръстена) с радиус $a$ и означение $R$; дъга при върха означава ъгъла $\alpha$; отдолу надпис „Фиг. 2.1“. В лявата част на изрязването попадат и точковите анотации „[0,25 т]“. — Фиг. 2.1 (към решението). Пространственият ъгъл $\alpha$ , под който пръстенът се вижда от заряда $g_\mathrm{e}$ , намиращ се на координата $z$ .

Според закона на Фарадей, индуцираното ЕДН в пръстена е:

(12) $\quad \mathcal{E} = -\dfrac{d\Phi}{dt} = -\dfrac{d\Phi}{dz}\dfrac{dz}{dt} = -\dfrac{d\Phi}{dz}v$ , [0,5 т]

като сме отчели, че $v = dz/dt$ . Като използваме уравнение (11) намираме:

(13) $\quad \mathcal{E} = -\dfrac{\mu_0 g a^2 v}{2\left(z^2+a^2\right)^{3/2}}$ [1 т]

2 вариант: Преминаваме към отправна система свързана с частицата. В тази система пръстенът се приближава към частицата със скорост – $v$ .

Всяка точка от пръстена се намира в магнитно поле с индукция:

Същата схема с конус от заряда $g_\mathrm{e}$ до пръстена; в горната точка на пръстена са нанесени дебели стрелки за силата $F$ (наляво-нагоре), индукцията $B$ (надясно-нагоре) и скоростта $-v$ (наляво); отдолу надпис „Фиг. 2.2“. В лявата част на изрязването попадат и точковите анотации „[0,5 т]“. — Фиг. 2.2 (към решението). В отправната система на частицата пръстенът се движи със скорост $-v$ ; върху заряд от пръстена действа сила $F = qvB\sin\alpha$ .

(14) $\quad B = \dfrac{\mu_0 g}{4\pi\left(z^2+a^2\right)}$ , [0,5 т]

наклонена под ъгъл $\alpha$ спрямо оста $z$ .

На свободен заряд с големина , $q$ от пръстена действа сила:

(15) $\quad F = qvB\sin\alpha = \dfrac{\mu_0 g q a v}{4\pi\left(z^2+a^2\right)^{3/2}}$ [0,5 т]

При обход на пръстена в положително направление (по правилото на дяната ръка спрямо оста $z$ ) тази сила извършва работа:

(16) $\quad A = -\,2\pi a F$

и, следователно, воде до индуциране на ЕДН:

(17) $\quad \mathcal{E} = \dfrac{A}{q} = -\dfrac{\mu_0 g a^2 v}{2\left(z^2+a^2\right)^{3/2}}$ [1 т]

Енергията, която се отделя в прътена за време $dt$ е

(18) $\quad dQ = \dfrac{\mathcal{E}^2}{R}dt = \dfrac{\mathcal{E}^2}{vR}dz$ , [0,5 т]

където $dz$ е преместването на частицата за същия интервал от време.Общото количество топлина е:

(19) $\quad Q = \dfrac{\mu_0^2 g^2 a^4 v}{4R}\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\dfrac{dz}{\left(z^2+a^2\right)^3} = \dfrac{3\pi\mu_0^2 g^2 v}{32aR}$ [0,5 т]

Като вземем предвид израза за елементарния магнитен заряд, получаваме:

(20) $\quad Q = \dfrac{3\pi h^2 v}{128 e^2 a R}$ [1 т]

Оригинал в Архива: proletni_2006_STproblems.pdf · официални решения: proletni_2006_STsolutions.pdf