НПСФ 2006, Специална тема — Задача 2. Ако имаше магнитни заряди

Национално пролетно състезание по физика, Пловдив, 17 – 19.03.2006 г. — Специална тема · 17 март 2006 г. · 10 т.

Условие

Според установените схващания магнитното поле се поражда от движещи се електрични заряди. Въпреки това, няма фундаменталин закон на физиката, който изключва съществуването на свободни магнитни заряди. Един точков магнитен заряд $g$ би създавал в точка с радиус-вектор $\vec{r}$ магнитно поле с индукция $\vec{B}$, която се задава с израза:

(1) $\quad \vec{B} = \dfrac{\mu_0 g}{4\pi r^3}\,\vec{r}$,

където $\mu_0 = 4\pi\times 10^{-7}$ H/m е магнитната константа. За полето на система от магнитни заряди би била изпълнена теоремата на Гаус:

(2) $\quad \Phi_B = \mu_0 g_t$,

където $\Phi_B$ е потокът на магнитното поле през дадена затворена повърхност, а $g_t$ е пълният магнитен заряд, заграден от тази повърхност.

Приемете, че индуктивността на пръстена е пренебрежимо малка.

Фундаментални константи:

• елементарен електричен заряд, $e = 1,60.10^{-19}$ C;
• константа на Планк, $h = 6,64.10^{-34}$ J.s;
• магнитна константа, $\mu_0 = 4\pi\times 10^{-7}$ H/m.

Упътване: Ако е нужно, можете да използвате, че:

• Пространственият ъгъл $\Omega$, който загражда конус с ъгъл $\alpha$ между оста му и образуващата, се дава с израза: $\Omega = 2\pi\left(1-\cos\alpha\right)$.
• $\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{\infty}\dfrac{dz}{(a^2+z^2)^3} = \dfrac{3\pi}{8a^5}$.

а) Изразете единицата за магнитен заряд в системата SI чрез единиците за електричен заряд, дължина и време. [2 т.]

б) Електрон се движи перпендикулярно на еднородното магнитно поле в “магнитен кондензатор” – две успоредни пластини, върху които са разпределени равномерно магнитни заряди с еднакви големини и противоположни знаци (фиг. 2.1).

• Като използвате правилото за квантуване на Бор, докажете, че общият магнитен заряд, който се съдържа в участък от пластината с площ $S$, равна на площта на електронната орбита, е целочислено кратен на определен “елементарен” магнитен заряд $g_\mathrm{e}$. Изразете $g_\mathrm{e}$ чрез фундаменталните константи, дадени в края на задачата и пресметнете неговата числена стойност. [4 т.]

в) Частица с елементарен магнитен заряд $g_\mathrm{e}$ се движи с постоянна скорост v по оста $z$ на проводящ пръстен с радиус $a$ и съпротивление $R$ (фиг. 2.2). Частицата започва движение на много голямо разстояние от пръстена ($z = -\infty$), преминава през центъра му ($z = 0$) и се отдалечава на много голямо разстояние от него ($z = +\infty$).

• Получете израз за индуцираното ЕДН в пръстена, като функция на координатата $z$ на частицата и параметрите $g_\mathrm{e}$, v, $a$, $\mu_0$. [2 т]
• Получете израз за пълното количество топлина $Q$, което се отделя в пръстена при преминаване на частицата чрез параметрите v, $a$, $R$, константата на Планк $h$ и елементарния електричен заряд $e$. . [4 т.]

Отговори

Решение

Оригинал в Архива: proletni_2006_STproblems.pdf · официални решения: proletni_2006_STsolutions.pdf