Съдържание

НПСФ 2006, Специална тема — Задача 3. Икономично отопление

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НПСФ 2006

Национално пролетно състезание по физика, Пловдив, 17 – 19.03.2006 г. — Специална тема · 17 март 2006 г. · 10 т.

Условие

Нека разгледаме слой от определен материал с дебелина $\Delta x$ и с площ на напречното сечение $S$ (фиг. 3.1). Ако температурите върху двете основи на слоя са различни, $T$ и $T + \Delta T$ , през слоя започва пренос на топлина. Пренесеното за време $t$ количество топлина $Q$ , се дава с израза:

Правоъгълна рамка, в която е изчертан цилиндър, легнал хоризонтално; лявата му основа е означена с $T$ и $S$, дясната — с $T + \Delta T$; над цилиндъра надпис $\Delta x$; вътре дебела стрелка наляво с надпис $Q$; долу вдясно надпис „Фиг. 3.1“. — Фиг. 3.1. Слой с дебелина $\Delta x$ и напречно сечение $S$ , през който тече топлина $Q$ от по-топлата към по-студената основа.

(1) $\quad Q = kS\dfrac{\Delta T}{\Delta x}t$ ,

където $k$ се нарича топлопроводност на дадения материал. Топлопроводността се измерва с единицата W.m $^{-1}$ .K $^{-1}$ .

Използвайте от таблицата

Материал	$k$ (W.m $^{-1}$ .K $^{-1}$ )
Бетон	0,84
Стъкло	0,84
Въздух	0,023

а) Стая има една външна стена от бетон с дебелина $d_1 = 0,2$ m, широчина $a = 4$ m и височина $b = 3$ m (фиг. 3.2). На стената има квадратен прозорец от единично стъкло с дебелина $d_2 = 2$ mm и с дължина на страната $c = 1,5$ m. Намерете мощността $P$ на електрически нагревател, нужна за да се поддържа в стаята постоянна температура $T_1 = 20$ °C при температура на външния въздух $T_2 = 0$ °C. [2 т.]

б) За икономия на енергия, единичният прозорец е заменен с двоен, който се състои от два листа стъкло с еднакви дебелини $d_2 = 2$ mm, между които има въздушен слой с дебелина $d_3 = 1$ cm (фиг. 3.3). Пресметнете мощността $P_1$ на нагревателя, която е необходима в този случай за поддържане на температура $T_1 = 20$ °C в стаята при температура на външния въздух $T_2 = 0$ °C. [4 т.]

в) Един съвременен уред за отопление е т. нар. термопомпа. Тя представлява устройство, което има същия работен цикъл като този на хладилник. Охладеното работно вещество приема топлина от външния въздух, свива се адиабатно, при което се загрява и тогава отдава топлина на въздуха в стаята.

Ако приемете, че термопомпата работи по цикъла на Карно, пресметнете мощността $P_2$ на електричния ток, който тя консумира, за да поддържа същата постоянна температура $T_1 = 20$ °C в стаята при температура на външния въздух $T_2 = 0$ °C. [3 т]
Колко пъти ще намалее консумираната мощност в случай на отопление с електрически нагревател и в случай на отопление с термопомпа, ако външната температура се повиши до 10 °C при постоянна температура на въздуха в стаята? [4 т.]

Голям правоъгълник, означен отляво с $b$ и отдолу с $a$; в средата му по-малък квадрат, означен с $c$; отдолу вляво надпис „Фиг. 3.2“. — Фиг. 3.2. Външната стена с широчина $a$ и височина $b$ и квадратният прозорец със страна $c$ .

Два вертикални тесни правоъгълника (стъклата), означени отдолу с $d_2$; над тях надпис „стъкло“ с две наклонени указателни линии към правоъгълниците; между тях надпис „въздух“ и двустранна хоризонтална стрелка с означение $d_3$; отдолу надпис „Фиг. 3.3“. — Фиг. 3.3. Двоен прозорец: два листа стъкло с дебелина $d_2$ и въздушен слой между тях с дебелина $d_3$ .

Отговори

Решение

а) През бетона за единица време се пренася топлина:

(1) $\quad P_{\text{б}} = k_1\dfrac{ab-c^2}{d_1}\left(T_1 - T_2\right)$ [0,5 т]

а през стъклото на прозореца:

(2) $\quad P_{\text{п}} = k_2\dfrac{c^2}{d_2}\left(T_1 - T_2\right)$ [0,5 т]

Следователно, необходимата мощност на наглевателя е:

(3) $\quad P = \left(k_1\dfrac{ab-c^2}{d_1} + k_2\dfrac{c^2}{d_2}\right)\left(T_1 - T_2\right) = 19,7$ kW. [1 т]

б) През бетона преминава същото количество топлина, като това, определено в (1). През двете стъкла и слоя въздух между тях преминава за единица време едно и също количество топлина $P'$ . Следователно разликата в температурите между двете повърхности на всяко от съклата е:

(4) $\quad \Delta T_{\text{с}} = \dfrac{d_2 P'}{k_2 c^2}$ , [0,5 т]

а между двата края на въздушния слой:

(5) $\quad \Delta T_{\text{в}} = \dfrac{d_3 P'}{k_3 c^2}$ . [0,5 т]

Общата разлика в температурите между стаята и външния въздух, следователно е:

(6) $\quad T_1 - T_2 = 2\Delta T_{\text{с}} + \Delta T_{\text{в}} = \dfrac{\left(2d_2/k_2 + d_3/k_3\right)P'}{c^2}$ [1 т]

Оттук намираме:

(7) $\quad P' = \dfrac{c^2\left(T_1 - T_2\right)}{\left(2d_2/k_2 + d_3/k_3\right)}$ [1 т]

Новата мощност на нагревателя е равна на пълното количество топлина, което преминава през стената за единица време:

(8) $\quad P_1 = P_{\text{б}} + \dfrac{c^2\left(T_1 - T_2\right)}{\left(2d_2/k_2 + d_3/k_3\right)} = 921$ W. [1 т]

в) Нека за време $t$ работното вещество получава количество топлина $Q_2$ от външния въздух, а двигателят на помпата извършва работа $A = P_2 t$ за свиване на веществото. Тогава количеството топлина $Q_1$ , което работното вещество отдава на въздуха в стаята е:

(9) $\quad Q_1 = Q_2 + P_2 t$ . [0,5 т]

Понеже помпата работи по цикъла на Карно, е изпълнено:

(10) $\quad \dfrac{Q_1}{T_1} = \dfrac{Q_2}{T_2}$ . [0,5 т]

Оттук намираме връзката:

(11) $\quad P_2 t = \dfrac{\left(T_1 - T_2\right)}{T_1}Q_1$ [0,5 т]

За да се поддържа постоянна температура в стаята, е нужно количеството топлина, което въздухът в стаята получава, да е равно на количеството топлина, което преминава за същото време през външната стена (в случай на двоен прозорец):

(12) $\quad Q_1 = P_1 t$ . [0,5 т]

Следователно, мощността, която термопомпата консумира е:

(13) $\quad P_2 = \dfrac{\left(T_1 - T_2\right)}{T_1}P_1 = 63$ W. [1 т]

От формули (1) и (8) следва, че консумираната мощност $P_1$ при директно отопление с електрически нагревател е пропорционална на разликата $(T_1 - T_2)$ между вътрешната и външната температури. Следователно, когато външната температура се повиши до 10 °C, консумираната мощност от нагревателя намалява 2 пъти. [0,5 т]

От резултата (13) следва, че при зададена температура на въздуха в стаята, консумираната мощност $P_2$ от термопомпата е пропорционална $(T_1 - T_2)P_1$ т.е. на $(T_1 - T_2)^2$ . Следователно, когато външната температура се повиши до 10 °C, консумираната от термопомпата мощност намалява 4 пъти. [0,5 т]

Оригинал в Архива: proletni_2006_STproblems.pdf · официални решения: proletni_2006_STsolutions.pdf