НПСФ 2006, Специална тема — Задача 1. Разхлабена струна

• а) $a(t) = -\dfrac{k^2 T}{\mu}\,A\sin(kL)\sin\!\left(kt\sqrt{T/\mu}\right)$

  Използвани са $\omega = kc$ и $c=\sqrt{T/\mu}$; изразът съдържа и линейната плътност $\mu$, която не е изброена в списъка с параметри в условието.

• б) $\operatorname{cotg}(kL) = \dfrac{Mk}{\mu}$

  От $ma \approx -T\operatorname{tg}\alpha$ с $\operatorname{tg}\alpha = dy/dx$ в точката $x=L$.

• в) $\nu = \dfrac{x}{2\pi L}\sqrt{\dfrac{T}{\mu}} \approx 19{,}4\ \mathrm{Hz}$

  При $\mu L = M$ уравнението става $\operatorname{cotg}(x)=x$ с най-малък корен $x \approx 0{,}86$, откъдето $k = x/L \approx 1,7$ m$^{-1}$.

а) Законът за движение на шайбата по $y$ се получава от уравнението на стоящата вълна при $x = L$:

(1) $\quad y(t) = A\sin(kL)\sin(\omega t)$. [0,25 т.]

Ускорението на шайбата е втора производна на отклонението по времето:

(2) $\quad a(t) = y''(t) = -\omega^2 A\sin(kL)\sin(\omega t)$. [0,25 т.]

За да изразим ускорението чрез зададените параметри, използваме съотношението:

(3) $\quad \lambda\nu = c$. [0,5 т.]

Оттук получаваме:

(4) $\quad \omega = 2\pi\nu = \dfrac{2\pi c}{\lambda} = kc$ [0,5 т.]

Използваме формулата за скорост на напречните вълни и заместваме израза (4) за $\omega$ в уравнение (2):

(5) $\quad a(t) = -\dfrac{k^2 T}{\mu}\,A\sin(kL)\sin\!\left(kt\sqrt{T/\mu}\right)$ [0,5 т.]

б) От II принцип на Нютон:

(6) $\quad ma = -T\sin\alpha$, [1 т.]

където $\alpha$ е ъгълът между допирателната към струната в десния й край и оста $x$ (фиг. 1.1). Мащабът по $y$ е силно увеличен. В действителност $A \ll L$, поради което този ъгъл е много малък и $\sin\alpha \approx \operatorname{tg}\alpha$, т. е.:

(7) $\quad ma \approx -T\operatorname{tg}\alpha$ [1 т.]

От друга страна:

(8) $\quad \operatorname{tg}\alpha = \dfrac{dy}{dx} = kA\cos(kL)\sin(\omega t)$. [1 т.]

Като заместим изразите (5) и (8) в уравнение (7), и след елементарни преобразования, получаваме:

(9) $\quad \operatorname{cotg}(kL) = \dfrac{Mk}{\mu}$. [1 т.]

в) За да намерим най-ниската (основна) честота $\nu$ на струната, е нужно да определим най-малката стойност на $k$, която удоволетворява условието за стояща вълна (9). Удобно е (но не е задължително) да въведем помощна безразмерна променлива $x = kL$. Тогава уравнение (9) се записва във вида:

(10) $\quad \operatorname{cotg}(x) = \dfrac{Mx}{\mu L}$.

При зададените числени стойности установяваме, че $\mu L = M$ и уравнинието за определяне на $x$ се упростява допълнително:

(11) $\quad \operatorname{cotg}(x) = x$.

За да намерим най-малкия корен на това уравнение, е достатъчно да построим върху милиметрова хартия графиките на функциите $y = \operatorname{cotg}(x)$ и $y = x$ в интелвала $(0;\ \pi/2)$. За целта пресмятаме функцията $y = \operatorname{cotg}(x)$ в поне 10 точки и построяваме нейната графика. Графиката на функцията $y = x$ е ъглополовяща на I квадрант (фиг. 1.2).

[1 т] за таблица с минимум 10 реда, [0,5 т] за таблица 5 – 9 реда, [0 т] за < 5 реда

[1 т] за правилно нанесени точки върху графиката.

От пресечната точка на графиките намираме:

$x \approx 0.86$ или $k = x/L \approx 1,7$ m$^{-1}$. [1 т] за две верни значещи цифри

За честотата имаме:

$\nu = \dfrac{\omega}{2\pi} = \dfrac{kc}{2\pi} = \dfrac{x}{2\pi L}\sqrt{\dfrac{T}{\mu}}$, [0,5 т]

откъдето:

$\nu \approx 19,4$ Hz. [0,5 т]