Съдържание

НПСФ 2007, Специална тема — Задача 3. Вега от съзвездието Лира

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НПСФ 2007

Национално пролетно състезание по физика, Сливен, 16 – 18 март 2007 г. — Специална тема · 16 март 2007 г. · 10 т.

Условие

Спектърът на топлинно излъчване на дадено тяло се характеризира с излъчвателна способност $\varepsilon(\lambda)$ , която се дефинира като:

\varepsilon(\lambda) = \frac{dP}{Sd\lambda},

където $dP$ е излъчената мощност от площ $S$ в интервала от дължини на вълната $[\lambda,\ \lambda+d\lambda]$ . На фиг. 3 е дадена графика на излъчвателната способност на абсолютно черно тяло при неизвестна температура.

Графика върху фина координатна мрежа: по абсцисата $\lambda$ (nm) от 0 до 2000 с главни деления през 200 nm и малки клетки през 50 nm; по ординатата $\varepsilon$ (W.m$^{-2}$.nm$^{-1}$) от 0 до 50000 с главни деления през 10000 и малки клетки през 2000. Кривата тръгва от нула при около 180 nm, расте стръмно, достига максимум около 41000 при около 580 nm и след това спада плавно до около 3500 при 2000 nm. — Фиг. 3 *Излъчвателна способност на абсолютно черно тяло като функция на дължината на вълната*

а) Пресметнете температурата на тялото. Оценете грешката на числения резултат. [2 т.]

б) Оценете каква относителна част $\eta$ от мощността на излъчване на тялото се отделя във видимия диапазон: $\lambda = 400 – 750$ nm. Оценете грешката на числения резултат. [5,5 т.]

в) Звездата Вега от съзвездието Лира има температура на повърхността 10 000 K. Ако приемете, че звездата излъчва като абсолютно черно тяло, оценете каква относителна част от отделяната енергия се излъчва във видимия диапазон.

(В тази точка не е необходим анализ на грешката)

Данни:

константа на Вин, $b = 2{,}90.10^{-3}$ m.K.
константа на Стефан-Болцман: $\sigma = 5{,}67.10^{-8}$ W.m $^{-2}$ .K $^{-4}$ . [2,5 т.]

Отговори

Решение

а) От кривата намираме, че излъчвателната способност е максимална при $\lambda_0 \approx 580$ nm $= 5{,}8\cdot10^{-7}$ m. От закона на Вин определяме температурата на тялото:

(1)\qquad T = \frac{b}{\lambda_0} \approx 5000\ \text{K}.\qquad [0{,}5\ \text{т}]

Графичната грешка при определяне на $\lambda_0$ е $\Delta\lambda = 25$ nm. По формулите за разпространение на грешка, намираме:

(2)\qquad \Delta T = \frac{b}{\lambda_0^{2}}\Delta\lambda \approx 200\ \text{K}.\qquad [0{,}5\ \text{т}]

Окончателният резултат може да бъде записан:

(3)\qquad T = \left(5{,}0 \pm 0{,}2\right)\cdot10^{3}\ \text{K}.\qquad [1\ \text{т}]

б) Интензитетът на светлината, излъчена във видимия диапазон е:

(4)\qquad J_{\text{вид}} = \int_{400}^{750}\varepsilon(\lambda)d\lambda.\qquad [0{,}5\ \text{т}]

Този интеграл може да бъде оценен графично като площта, заградена от графиката в интервала от 400 до 750 nm. За целта изброяваме, че под графиката се намират $N_1 = 127$ клетки от координатната мрежа, а графиката пресича $N_2 = 8$ клетки. На една клетка съответства интензитет:

(5)\qquad \Delta J = 50\ \text{nm} \cdot 2000\ \text{W.m}^{-2}\text{.nm}^{-1} = 10^{5}\ \text{W/m}^{2}\qquad [0{,}5\ \text{т}]

Тогава оценяваме площта под графиката, като на пресечените клетки съпоставяме половината от $\Delta J$ :

(6)\qquad J_{\text{вид}} \approx \left(N_1 + \frac{N_2}{2}\right)\Delta J = 1{,}31\cdot10^{7}\ \text{W/m}^{2}\qquad [1\ \text{т}]

От закона на Стефан-Болцман намираме пълния интензитет на топлинно излъчване:

(7)\qquad J_{\text{пълн}} = \sigma T^{4} = 3{,}51\cdot10^{7}\ \text{W/m}^{2}.\qquad [0{,}5\ \text{т}]

Относителният дял на видимото излъчване е:

(8)\qquad \eta = \frac{J_{\text{вид}}}{J_{\text{пълн}}} \approx 0{,}37.\qquad [0{,}5\ \text{т}]

Графичната грешка при определяне на интензитета във видимия диапазон се определя от броя на клетките, пресечени от графиката:

(9)\qquad \Delta J_{\text{вид}} = \frac{N_2\Delta J}{2}.\qquad [0{,}5\ \text{т}]

Грешката при определяне на пълния интензитет се дължи на грешката на температурата:

(10)\qquad \Delta J_{\text{пълн}} = 4\sigma T^{3}\Delta T\qquad [0{,}5\ \text{т}]

Относителната грешка на крайния резултат е:

(12)\qquad \frac{\Delta\eta}{\eta} = \frac{\Delta J_{\text{вид}}}{J_{\text{вид}}} + \frac{\Delta J_{\text{пълн}}}{J_{\text{пълн}}} = \frac{N_2}{(2N_1 + N_2)} + \frac{4\Delta T}{T} = 0{,}19\qquad [0{,}5\ \text{т}]

Следователно $\Delta\eta \approx 0{,}05$ и крайният резултат се записва като:

(13)\qquad \eta = 0{,}37 \pm 0{,}07.\qquad [1\ \text{т}]

(Номерацията прескача (11); стойността „ $\Delta\eta \approx 0{,}05$ “ е отпечатана така, макар че $0{,}19 \times 0{,}37 = 0{,}07$ — и двете са запазени както са в оригинала.)

Забележка. Според формулата на Планк $\varepsilon(\lambda) = \dfrac{2\pi hc^{2}}{\lambda^{5}\left(\exp\left(\dfrac{hc}{kT\lambda}\right)-1\right)}$ . Прецизното числено интегриране на тази функция дава резултат $1{,}283\cdot10^{7}$ W/m $^{2}$ и съответно $\eta = 0{,}3655$ .

в) От закона на Вин следва, че при два пъти по-висока температура, $T = 10\ 000$ K, максимумът на излъчвателната способност се премества от 580 nm на 290 nm. Кривата на излъчвателната способност при 10 000 K се получава от кривата, съответстваща на температура 5000 K при отместване на всички точки към два пъти по-малка дължина на вълната и $2^{5} = 32$ пъти по-голяма стойност на $\varepsilon$ , така че общият интензитет на излъчването нараства $2^{4}$ пъти.

Следователно относителният дял на излъчването в интервале 400 – 750 nm при температура 10 000 K е равен на относителния дял на излъчването в интервала 800 – 1500 nm при температура 5000 K. Като използваме наличната графика:

(14)\qquad J_{400-750}(10\ 000\ \text{K}) = 16\,J_{800-1500}(5000\ \text{K})\qquad [1\ \text{т}]

От графиката, съответстваща на $T = 5000$ K, намираме: $N_1 = 116$ , $N_2 = 16$ и съответно:

(15)\qquad J_{400-750}(10\ 000\ \text{K}) = 16\left(N_1 + \frac{N_2}{2}\right)\Delta J = 1{,}99\cdot10^{8}\ \text{W/m}^{2}.\qquad [0{,}5\ \text{т}]

От закона на Стефан-Болцман определяме пълния интензитет на излъчването при 10 000 K:

(16)\qquad J(10\ 000\ \text{K}) = \sigma T^{4} = 5{,}67\cdot10^{8}\ \text{W/m}^{2}.\qquad [0{,}5\ \text{т}]

Окончателно намираме, че Вега излъчва във видимия диапазон относителна част от енергия:

(17)\qquad \eta = \frac{1{,}99\cdot10^{8}}{5{,}67\cdot10^{8}} = 0{,}35 = 35\ \%.\qquad [0{,}5\ \text{т}]

Скица с оси $\varepsilon$ (вертикална) и $\lambda$ (хоризонтална). Начертани са две криви на излъчвателна способност: по-ниската и по-широка е означена $T$, а по-високата и тясна, изместена наляво, е означена $nT$. Стрелка между тях е означена $\times n^{4}$; вертикална стрелка при по-късите дължини на вълната е означена $\times n^{5}$; хоризонтална стрелка по абсцисата е означена $\times 1/n$. Две съответни защриховани ивици под двете криви показват еднаквия относителен дял. — Към подусловие в): преминаване от кривата при температура $T$ към кривата при $nT$ — дължините на вълната се свиват $n$ пъти, а ординатите нарастват $n^{5}$ пъти

Оригинал в Архива: proletni_2007_STproblems.pdf · официални решения: proletni_2007_STsolutions.pdf