Съдържание

НПСФ 2008, 9. клас — Задача 2. Зареждане и разреждане на кондензатори

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НПСФ 2008

Национално пролетно състезание по физика 2008, Търговище — тема за 9 клас · 14 март 2008 г. · 10 т.

Условие

Една батерия с електродвижещо напрежение $E$ , два еднакви кондензатора, всеки от тях с капацитет $C$ , и три резистора, всеки със съпротивление $R$ , са свързани в схема, дадена на фигурата. Намерете:

Електрическа схема с два кондензатора, три резистора и батерия — Схемата: кондензаторът $C_1$ и резисторът $R_1$ в левия контур, резисторът $R_3$ в средния клон, резисторът $R_2$ и кондензаторът $C_2$ в десния контур, батерията с ЕДН $E$ в долния клон.

а) токовете $I_1, I_2$ и $I_3$ , течащи през съпротивленията $R_1, R_2$ и $R_3$ [2 т.]

б) напреженията $U_1$ и $U_2$ между плочите на кондензаторите $C_1$ и $C_2$ [1 т.]

в) По-късно батерията се разкача от схемата и кондензаторите започват да се разреждат. Намерете: отношението $I_1 : I_2 : I_3$ на токовете $I_1, I_2$ и $I_3$ , течащи през съпротивленията $R_1, R_2$ и $R_3$ в произволен момент по време на разреждането на кондензаторите [3 т.]

г) количеството протекли електрични заряди $q_1, q_2$ и $q_3$ през съпротивленията $R_1, R_2$ и $R_3$ до пълното разреждане на кондензаторите [2 т.]

д) отделените количества топлина $Q_1, Q_2$ и $Q_3$ върху съпротивленията $R_1, R_2$ и $R_3$ до пълното разреждане на кондензаторите [2 т.]

Отговори

Решение

а) тъй като през конзензаторите не тече постоянен ток, то токът през трите резистора е един и същ $I_1 = I_2 = I_3 = I$ [0.5 т].

Съпротивленията са последователно свързани и еквивалентното им съпротивление е $3R$ [0.5 т].

От закона на Ом за цялата верига намираме тока във веригата $I = \dfrac{E}{3R}$ [1 т].

б) тъй като всеки кондензатор е успоредно включен на две от съпротивленията, то неговото напрежение е равно на сумата от напреженията върху два резистора $U_1 = U_2 = U = I2R = \dfrac{2}{3}E$ [1 т]

в) след разкачането на батерията, всеки кондензатор е зареден до напрежение $U$ , което поради разреждането през съпротивленията започва да намалява. Тъй като кондензаторите са еднакви и симетрично разположени, то във всеки момент напреженията върху тях остават равни. Може да се напишат следните връзки и уравнения: $I_1 = I_2$ , $U_1 = U_2$ [общо 0.5 т], $U_1 = I_1R_1 + I_3R_3$ , $U_2 = I_2R_2 + I_3R_3$ , $I_1 + I_2 = I_3$ [за всяко по 0.5 т].

Решавайки тези уравнения, $I_1 = I_2 = \frac{1}{2}I_3$ [0.5 т] или $I_1 : I_2 : I_3 = 1 : 1 : 2$ [0.5 т].

г) отношението на количеството протекли електрични заряди $q_1, q_2$ и $q_3$ през съпротивленията $R_1, R_2$ и $R_3$ е както отношението на токовете $I_1, I_2$ и $I_3$ . През съпротивлението $R_1$ преминава целият заряд от кондензатора $C_1$ , през съпротивлението $R_2$ преминава целият заряд от кондензатора $C_2$ , а през съпротивлението $R_3$ - двойно повече [0.5 т]. Зарядът на всеки от кондензаторите в началото е бил $q = CU = C\frac{2}{3}E$ [0.5 т], следователно $q_1 = q_2 = \frac{2}{3}CE$ [0.5 т], $q_3 = \frac{4}{3}CE$ [0.5 т].

д) общото количество топлина, отделено в трите резистора ще е равно на натрупаната в началото енергия в двата кондензатора. Тя е равна на $W = W_1 + W_2 = 2\frac{1}{2}CU^2 = \frac{4}{9}CE^2$ [0.5 т].

Тъй като отделеното количество топлина в резистор е пропорционално на квадрата на големината на тока през него $Q_1 : Q_2 : Q_3 = I_1^2 : I_2^2 : I_3^2 = 1 : 1 : 4$ [0.5 т]. Тъй като $W = Q_1 + Q_2 + Q_3$ , то $Q_1 = Q_2 = \frac{1}{6}W = \frac{2}{27}CE^2$ [0.5 т], $Q_3 = \frac{4}{6}W = \frac{8}{27}CE^2$ [0.5 т].

Оригинал в Архива: proletni_2008_9problems.pdf · официални решения: proletni_2008_9solutions.pdf