НПСФ 2008, Специална тема — Задача 1. Водородна молекула

Национално пролетно състезание по физика, Търговище, 15–16.03.2008 г. — Специална тема · 15 март 2008 г. · 10 т.

Условие

Според теорията на химичната връзка ковалентното свързване на два атома в молекула се осъществява посредством “поделяне” на техните външни (валентни) електрони. Тук ще разгледате прост физичен модел на образуването на водородната молекула H$_2$.

Моделът е представен схематично на фиг. 1. Двата протона ($p$) са разположени на разстояние $R$ един от друг. Двата електрона ($e^-$) обикалят по обща орбита на еднакви разстояния $r$ от протоните. Електроните са разположени върху един и същ диаметър на орбитата. Равнината на орбитата е перпендикулярна на отсечката, свързваща протоните и я разполовява.

а) При каква стойност на отношението $r/R$ протоните се намират в равновесие? [2 т.]

б) При условие, че протоните се намират в равновесие, получете израз за скоростта $v$, с която се движат електроните. Изразете отговора чрез разстоянието $R$ между протоните, елементарния електричен заряд $e$, масата $m$ на електрона и константата $k$ в закона на Кулон. [3 т.]

в) Пълната енергия на молекулата, когато протоните са в равновесие, може да се представи чрез израза:

$E = -C\,\frac{ke^{2}}{R}.$

Получете точен израз за безразмерната константа $C$. [2 т.]

г) Според квантовата механика при движение на частица по окръжност дължината $l$ на окръжността е кратна на дължината $\lambda$ на вълната на дьо Бройл:

$l = n\lambda,$

където $n = 1; 2; \dots$ е цяло положително число. Като използвате този факт, намерете най-ниската възможна енергия $E_{\min}$ на водородната молекула и съответното ѝ равновесно разстояние $R_{\min}$ между протоните. Изразете отговорите чрез константите $k$, $e$, $m$, и “редуцираната” константа на Планк: $\hbar = \dfrac{h}{2\pi}$. Пресметнете стойностите на търсените величини с точност 3 значещи цифри и ги представете в единици eV (за енергията) и Å (за разстоянието). [2 т.]

д) Енергия $E_B$ на връзката на молекула се нарича минималното количество енергия, нужно за разделяне на молекулата на съставящите я атоми. Като имате предвид, че енергията на основното състояние на водородния атом е $E_H = -13{,}6$ eV, пресметнете в електронволти енергията на връзка на водородната молекула. [1 т.]

Отговори

Решение

---

Оригинал в Архива: proletni_2008_STproblems.pdf · официални решения: proletni_2008_STsolutions.pdf