Съдържание

НПСФ 2008, Специална тема — Задача 1. Водородна молекула

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НПСФ 2008

Национално пролетно състезание по физика, Търговище, 15–16.03.2008 г. — Специална тема · 15 март 2008 г. · 10 т.

Условие

Според теорията на химичната връзка ковалентното свързване на два атома в молекула се осъществява посредством “поделяне” на техните външни (валентни) електрони. Тук ще разгледате прост физичен модел на образуването на водородната молекула H $_2$ .

Моделът е представен схематично на фиг. 1. Двата протона ( $p$ ) са разположени на разстояние $R$ един от друг. Двата електрона ( $e^-$ ) обикалят по обща орбита на еднакви разстояния $r$ от протоните. Електроните са разположени върху един и същ диаметър на орбитата. Равнината на орбитата е перпендикулярна на отсечката, свързваща протоните и я разполовява.

Ромбовидна схема: вляво и вдясно по едно защриховано кръгче с означение $p$ (двата протона), свързани с пунктирано-точкова хоризонтална ос, върху която е означено разстоянието $R$; в средата вертикална затворена крива (орбитата на електроните), върху която горе и долу са нанесени малки кръгчета с означения $e^-$; пунктирани отсечки с означения $r$ свързват всеки протон с двата електрона; върху орбитата има стрелки за посоката на обикаляне. — Фиг. 1 *Модел на водородната молекула*

а) При каква стойност на отношението $r/R$ протоните се намират в равновесие? [2 т.]

б) При условие, че протоните се намират в равновесие, получете израз за скоростта $v$ , с която се движат електроните. Изразете отговора чрез разстоянието $R$ между протоните, елементарния електричен заряд $e$ , масата $m$ на електрона и константата $k$ в закона на Кулон. [3 т.]

в) Пълната енергия на молекулата, когато протоните са в равновесие, може да се представи чрез израза:

E = -C\,\frac{ke^{2}}{R}.

Получете точен израз за безразмерната константа $C$ . [2 т.]

г) Според квантовата механика при движение на частица по окръжност дължината $l$ на окръжността е кратна на дължината $\lambda$ на вълната на дьо Бройл:

l = n\lambda,

където $n = 1; 2; \dots$ е цяло положително число. Като използвате този факт, намерете най-ниската възможна енергия $E_{\min}$ на водородната молекула и съответното ѝ равновесно разстояние $R_{\min}$ между протоните. Изразете отговорите чрез константите $k$ , $e$ , $m$ , и “редуцираната” константа на Планк: $\hbar = \dfrac{h}{2\pi}$ . Пресметнете стойностите на търсените величини с точност 3 значещи цифри и ги представете в единици eV (за енергията) и Å (за разстоянието). [2 т.]

д) Енергия $E_B$ на връзката на молекула се нарича минималното количество енергия, нужно за разделяне на молекулата на съставящите я атоми. Като имате предвид, че енергията на основното състояние на водородния атом е $E_H = -13{,}6$ eV, пресметнете в електронволти енергията на връзка на водородната молекула. [1 т.]

Отговори

Решение

а) На протона действат три сили:

(1)\qquad F_1 = F_2 = \frac{ke^{2}}{r^{2}}\qquad [0{,}25\ \text{т}]

(2)\qquad F_3 = \frac{ke^{2}}{R^{2}}.\qquad [0{,}25\ \text{т}]

От условието за равновесие на трите сили имаме:

(3)\qquad F_1\cos\alpha + F_2\cos\alpha = F_3\qquad [0{,}5\ \text{т}]

От друга страна:

(4)\qquad \cos\alpha = \frac{R}{2r}.

От уравненията (1)–(4) намираме

(5)\qquad r/R = 1\ \text{ или }\ r = R\qquad [1{,}0\ \text{т}]

б) Прилагаме втория принцип на Нютон за един от електроните:

(6)\qquad \frac{mv^{2}}{\rho} = F_1\sin\alpha + F_2\sin\alpha - F_3,\qquad [1{,}0\ \text{т}]

където:

(7)\qquad F_1 = F_2 = \frac{ke^{2}}{r^{2}} = \frac{ke^{2}}{R^{2}}\qquad [0{,}5\ \text{т}]

(8)\qquad F_3 = \frac{ke^{2}}{(2\rho)^{2}}\qquad [0{,}5\ \text{т}]

От уравнения (5) и (4) намираме:

(9)\qquad \cos\alpha = \frac{1}{2}\ \Rightarrow\ \sin\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}.

Също така:

(10)\qquad \rho = r\sin\alpha = \frac{R\sqrt{3}}{2}

Така получаваме:

(11)\qquad mv^{2} = \frac{(9-\sqrt{3})ke^{2}}{6R}

или

(12)\qquad v = \sqrt{\frac{(9-\sqrt{3})ke^{2}}{6mR}}\qquad [1{,}0\ \text{т}]

в) Кинетичната енергия на електроните е:

(13)\qquad K = 2\left(\frac{mv^{2}}{2}\right) = \frac{(9-\sqrt{3})ke^{2}}{6R}.\qquad [0{,}25\ \text{т}]

Потенциалната енергия на системата е сума от потенциалните енергии на взаимодействие на всички двойки частици:

(14)\qquad U = U_{pp} + 4U_{ep} + U_{ee},\qquad [0{,}25\ \text{т}]

където:

(15)\qquad U_{pp} = \frac{ke^{2}}{R}\qquad [0{,}25\ \text{т}]

(16)\qquad U_{ep} = -\frac{ke^{2}}{r} = -\frac{ke^{2}}{R}\qquad [0{,}25\ \text{т}]

(17)\qquad U_{ee} = \frac{ke^{2}}{(2\rho)} = \frac{\sqrt{3}ke^{2}}{3R}\qquad [0{,}25\ \text{т}]

Следователно:

(18)\qquad U = -\frac{(9-\sqrt{3})}{3}\frac{ke^{2}}{R}\qquad [0{,}25\ \text{т}]

Окончателно намираме:

(19)\qquad E = K + U = -\frac{(9-\sqrt{3})}{6}\frac{ke^{2}}{R}.

Следователно:

(20)\qquad C = \frac{(9-\sqrt{3})}{6}\qquad [0{,}5\ \text{т}]

г) От условието за квантуване имаме:

(21)\qquad 2\pi\rho = n\frac{h}{mv}\ \text{ или }\ mv\rho = n\hbar\qquad [0{,}5\ \text{т}]

Използваме изразите за радиуса (10) и за скоростта (12), за да получим уравнение за $R$ :

(20)\qquad m\sqrt{\frac{(9-\sqrt{3})ke^{2}}{6mR}}\times\frac{\sqrt{3}}{2}mR = n\hbar

Следователно, в състояние на равновесие разстоянията между протоните могат да приемат следните стойности:

(21)\qquad R = \frac{8n^{2}\hbar^{2}}{(9-\sqrt{3})mke^{2}}\qquad [0{,}5\ \text{т}]

Минималното разстояние между протоните съответства на $n = 1$ :

(22)\qquad R_{\min} = \frac{8\hbar^{2}}{(9-\sqrt{3})mke^{2}} \approx 5.78\times10^{-11}\ \mathrm{m} = 0.578\ \text{Å}.\qquad [0{,}25\ \text{т} + 0{,}25\ \text{т}]

Съответната минимална енергия се получава като заместим израза за $R_{\min}$ в (19):

(23)\qquad E_{\min} = -\frac{(9-\sqrt{3})}{6}\frac{ke^{2}}{R_{\min}} = -\frac{(9-\sqrt{3})^{2}}{48}\frac{mk^{2}e^{4}}{\hbar^{2}}

След опростяване на израза получаваме:

(24)\qquad E_{\min} = -\frac{(14-3\sqrt{3})}{8}\frac{mk^{2}e^{4}}{\hbar^{2}} = -4.827\times10^{-18}\ \mathrm{J} = -30.2\ \mathrm{eV}\qquad [0{,}25\ \text{т} + 0{,}25\ \text{т}]

д) Понеже водородната молекула се разпада на два атома водород, енергията на връзката е:

(25)\qquad E_B = 2E_H - E_{\min} = -27.2\ \mathrm{eV} - (-30.2\ \mathrm{eV}) = 3.0\ \mathrm{eV}\qquad [0{,}5\ \text{т} + 0{,}5\ \text{т}]

Коментар. Експериментално измереното разстояние между протоните във водородната молекула е $R_{\min} = 0.74$ Å, а експерименталната стойност на енергията на връзката: $E_B = 4.37$ eV

Ромб, начертан с пунктир: вляво и вдясно по едно кръгче (протоните), горе и долу по едно малко кръгче (електроните); страната е означена с $r$, хоризонталният диагонал — с $R$. От десния протон излизат три удебелени стрелки: $F_1$ нагоре-наляво, $F_2$ надолу-наляво и $F_3$ хоризонтално надясно; двата ъгъла между хоризонталата и $F_1$, съответно $F_2$, са означени с $\alpha$. — Силите $F_1$ , $F_2$ и $F_3$ , действащи на единия протон, и ъгълът $\alpha$ .

Ромб, начертан с пунктир: горе и долу по едно малко кръгче (електроните), вляво и вдясно по едно кръгче (протоните); ъглите при десния протон са означени с $\alpha$. От горното кръгче излизат удебелени стрелки: $F_1$ надолу-наляво, $F_2$ надолу-надясно и $F_3$ вертикално нагоре; между тях тънка стрелка надолу с означение $a_\mathrm{n}$. — Силите, действащи на единия електрон, и нормалното ускорение $a_n$ .

Оригинал в Архива: proletni_2008_STproblems.pdf · официални решения: proletni_2008_STsolutions.pdf