Съдържание

НПСФ 2008, Специална тема — Задача 3. Газова уредба. Затихващо трептене

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НПСФ 2008

Национално пролетно състезание по физика, Търговище, 15–16.03.2008 г. — Специална тема · 15 март 2008 г. · 10 т.

Условие

Двете подзадачи са независими.

А) А) Газова уредба

Автомобил с газова уредба се захранва с метан (CH $_4$ ). Газът се съхранява в сферичен стоманен резервоар при температура 27 °C. Каква е минималната възможна маса $M_{\min}$ на резервоара (стоманената обвивка), за да може в него да се съхраняват $m = 20$ kg метан?

Известно е, че стоманата може да издържи максимално механично напрежение на опън $\sigma_{\max} = 5{,}0\times10^{8}$ N/m $^2$ . Плътността на стоманата е $\rho = 7800$ kg/m $^3$ . Приемете, че дебелината $d$ на стената на резервоара е много по-малка от вътрешния му радиус $r$ .

Други данни:

универсална газова константа, $R = 8{,}314$ J/(mol·K);
моларна маса на въглерода, $\mu_C = 0{,}012$ kg/mol;
моларна маса на водорода, $\mu_H = 0{,}001$ kg/mol. [5 т.]

Кръг в разрез: вътрешността е с точков растер и надпис CH$_4$, обградена е с защрихован пръстен (стоманената обвивка); стрелка от центъра към вътрешния ръб е означена с $r$; отвън надпис $d$ и двустранни стрелки, сочещи дебелината на пръстена. — Сферичният стоманен резервоар с метан: вътрешен радиус $r$ и дебелина на стената $d$ .

Б) Б) Затихващо трептене

Трупче с маса $m = 1$ kg е закрепено на пружина с коефициент на еластичност $k = 100$ N/m. Трупчето може да се хлъзга по хоризонтална повърхност с коефициент на триене $\mu = 0{,}15$ . В началния момент пружината е разтегната с $x_0 = 10$ cm и трупчето е оставено да се хлъзга с нулева начална скорост. Приемете, че $g = 10$ m/s $^2$ . Намерете деформацията на пружината след окончателното спиране на трупчето. След колко време трупчето ще спре окончателно?

Фундаментални физични константи:

редуцирана константа на Планк, $\hbar = \dfrac{h}{2\pi} = 1{,}05\times10^{-34}$ J.s;
скорост на светлината във вакуум, $c = 3{,}00\times10^{8}$ m/s;
елементарен електричен заряд, $e = 1{,}60\times10^{-19}$ C;
константа в закона на Кулон, $k = 1/(4\pi\varepsilon_0) = 9{,}00\times10^{9}$ N.m $^2$ /C $^2$ ;
електтрична константа, $\varepsilon_0 = 8{,}85\times10^{-12}$ F/m;
маса на електрона, $m = 9{,}11\times10^{-31}$ kg. [5 т.]

Хоризонтална ос със скала и стрелка надясно; вляво вертикална стена, от която тръгва зигзагообразна пружина с означение $k$; вдясно правоъгълниче с надпис $m$ (трупчето) при деление $x_0$; до него означението $\mu$ за повърхността; с пунктир са показани недеформираното положение на пружината при 0 и междинно свито състояние. — Трупче с маса $m$ на пружина с коефициент на еластичност $k$ върху хоризонтална повърхност с коефициент на триене $\mu$ ; началната деформация е $x_0$ .

Отговори

Решение

А) Налягането на газа в бутилката е:

(1)\qquad p = \frac{mRT}{\mu V} = \frac{3mRT}{4\pi r^{3}\mu},\qquad [0{,}5\ \text{т}]

където:

(2)\qquad \mu = \mu_C + 4\mu_H = 0{,}016\ \mathrm{kg/mol}

Мислено разделяме сферата на две половини. Върху всяка от тях газът упражнява сила:

(3)\qquad F = p\pi r^{2} = \frac{3mRT}{4r\mu}\qquad [0{,}5\ \text{т}]

Тази сила води до възникване на сила на еластичност със същата големина в пръстеновидното напречно сечение на бутилката. Площта на това напречно сечение е:

(4)\qquad S \approx 2\pi rd,\qquad [0{,}5\ \text{т}]

защото $d \ll r$ . Следователно механичното напрежение в напречното сечение е:

(5)\qquad \sigma = \frac{F}{S} = \frac{3mRT}{8\pi r^{2}d\mu}.\qquad [0{,}5\ \text{т}]

Обемът на материала, от който е изработена бутилката е:

(6)\qquad V_m = 4\pi r^{2}d.\qquad [0{,}5\ \text{т}]

Следователно:

(7)\qquad \sigma = \frac{3mRT}{2V_m\mu}.\qquad [0{,}5\ \text{т}]

Понеже $\sigma \le \sigma_{\max}$ , намираме, че за изработката на бутилката е нужен матириал с минимален обем:

(8)\qquad V_{m,\min} = \frac{3mRT}{2\sigma_{\max}\mu}\qquad [0{,}5\ \text{т}]

и минималната маса на бутилката е:

(9)\qquad M_{\min} = \rho V_{m,\min} = \frac{3\rho mRT}{2\sigma_{\max}\mu}\qquad [1\ \text{т}]

Като заместим с числените данни, намираме:

(10)\qquad M_{\min} \approx 73\ \mathrm{kg}\qquad [0{,}5\ \text{т}]

Б) Трупчето ще спре окончателно в точка с координата $x$ такава, че:

(1)\qquad k|x| \le \mu mg\qquad [0{,}5\ \text{т}]

т.е. между точките $A$ и $B$ с координати:

(2)\qquad x_A = +\frac{\mu mg}{k} = 0{,}015\ \mathrm{m} = 1{,}5\ \mathrm{cm}\qquad [0{,}5\ \text{т}]

(3)\qquad x_B = -\frac{\mu mg}{k} = -0{,}015\ \mathrm{m} = -1{,}5\ \mathrm{cm}\qquad [0{,}5\ \text{т}]

След като трупчето бъде освободено, то започва да се движи наляво, като извършва половин период от хармонично трептене около т. $A$ . Следователно, първата точка на спиране има координата $x_1$ такава, че:

(4)\qquad x_0 - x_A = x_A - x_1

или

(5)\qquad x_1 = 2x_A - x_0 = -7\ \mathrm{cm}\qquad [0{,}5\ \text{т}]

Тъй като условието (1) не е изпълнено, трупчето започва да се движи надясно, като извършва половин период хармонично трептене около т. $B$ . Аналогично намираме, че втората точка на спиране е:

(6)\qquad x_2 = 2x_B - x_1 = 4\ \mathrm{cm}\qquad [0{,}5\ \text{т}]

Понеже и за втората точка не е изпълнено условието (1), движението продължава наляво и трупчето достига точката:

(7)\qquad x_3 = 2x_A - x_2 = -1\ \mathrm{cm}\qquad [0{,}5\ \text{т}]

Понеже за $x_3$ е изпълнено (1), правим извод, че трупчето спира окончателно в точка с координатата:

(8)\qquad x = -1\ \mathrm{cm}\qquad [1\ \text{т}]

До своето окончателно спиране трупчето извършва три полупериода на хармонично трептене, т.е. времето за движение е:

(9)\qquad t = \frac{3T}{2} = 3\pi\sqrt{\frac{m}{k}}\qquad [0{,}5\ \text{т}]

(10)\qquad t \approx 0{,}94\ \mathrm{s}\qquad [0{,}5\ \text{т}]

Хоризонтална ос със скала; вляво стена с пружина, вдясно правоъгълниче с надпис $m$ при деление $x_0$; с пунктирани вертикални линии са означени точките $B$ и $A$ от двете страни на нулата; пунктирани дъги със стрелки показват последователните полупериоди — наляво до $x_1$, надясно до $x_2$ и наляво до $x_3$; по оста са надписани $x_1$, $x_3$, 0, $x_2$ и $x_0$. — Последователните точки на спиране $x_0$ , $x_1$ , $x_2$ , $x_3$ на трупчето и границите $A$ и $B$ на зоната на застой.

Оригинал в Архива: proletni_2008_STproblems.pdf · официални решения: proletni_2008_STsolutions.pdf