Съдържание

НПСФ 2009, 11–12 клас — Задача 1. Свързани осцилатори

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НПСФ 2009

Национално пролетно състезание по физика 2009, Велинград — Тема 11.-12. клас · 28 февруари 2009 г. · 10 т.

Условие

Две еднакви тела, всяко едно с маса $m$ , са свързани последователно с две пружини, всяка една с коефициент на еластичност $k$ . Краят на една от пружините е фиксиран.

Схема: стена, пружина k, тяло 1 с маса m, пружина k, тяло 2 с маса m и хоризонтална сила F надясно. — Двете тела с маса $m$ , свързани последователно с две пружини с коефициент $k$ ; левият край е фиксиран, а към тяло 2 е приложена сила $F$ .

а) Към крайното тяло е приложена хоризонтална сила с големина $F$ . С колко ще се деформира всяка една от пружините? С колко ще се отклони от равновесното си положение всяко едно от телата. [2 т.]

б) Ако премахнем силата $F$ , телата ще извършват трептения, които няма да бъдат хармонични. Възможно е обаче така да изберем началните отклонения на телата от равновесно състояние $A_1$ и $A_2$ , че те да извършват хармонични трептения (движение с една и съща честота). В този случай движението на телата ще се описва от $x_1 = A_1 \sin(2\pi\nu.t)$ и $x_2 = A_2 \sin(2\pi\nu.t)$ , съответно с ускорения $a_1 = -(2\pi\nu)^2 A_1 \sin(2\pi\nu.t)$ и $a_2 = -(2\pi\nu)^2 A_2 \sin(2\pi\nu.t)$ . Намерете квадратите на възможните честоти и отношението на амплитудите $A_1/A_2$ . [8 т.]

Отговори

Решение

а) Силата $F$ е приложена както върху първата, така и върху втората пружина. Удължението на всяка една от пружините ще бъде $\Delta x = F/k$ [1т.] отместването на тяло 1 ще бъде $x_1 = \Delta x$ , а тяло 2 съответно $x_2 = 2.\Delta x$ . [1т.]

б) Ще запишем уравненията за движение при отместванията на първото и второто тяло (приемаме, че $x_2 > x_1$ )

m.a_1 = -k.x_1 + k.(x_2 - x_1)

[1т.]

m.a_2 = -k.(x_2 - x_1)

[1т.]

Или

m.a_1 = k.(x_2 - 2.x_1)

m.a_2 = -k.(x_2 - x_1)

Изразяваме $a_1$ , $a_2$ , $x_1$ и $x_2$ чрез честотата $\nu$ и след съкращаване на $\sin(2\pi\nu t)$ получаваме:

[2.k - m.(2\pi\nu)^2].A_1 - k.A_2 = 0

[0,5т.]

-k.A_1 + [k - m.(2\pi\nu)^2 A_2 = 0

[0,5т.]

От първото и второто уравнения определяме отношението $A_1/A_2$ и ги приравняваме

\frac{A_1}{A_2} = \frac{k}{2.k - m.(2\pi\nu)^2} = \frac{k - m.(2\pi\nu)^2}{k}

[1т.]

Откъдето получаваме биквадратно уравнение за $\nu$ .

(2\pi\nu)^4 - \frac{3.k}{m}(2\pi\nu)^2 + \frac{k^2}{m^2} = 0

[1т.]

Чиито решения са

\nu_{1,2}^2 = \frac{k}{8.\pi^2.m}(3 \pm \sqrt{5})

[1т.]

На които съответстват отношения на амплитудите:

\nu_1^2 = \frac{k}{8.\pi^2.m}(3 + \sqrt{5}) \;\rightarrow\; \frac{A_1}{A_2} = -\frac{\sqrt{5}+1}{2}

[1т.]

\nu_1^2 = \frac{k}{8.\pi^2.m}(3 - \sqrt{5}) \;\rightarrow\; \frac{A_1}{A_2} = \frac{\sqrt{5}-1}{2}

[1т.]

Отношението на амплитудите в първото равенство би трябвало да е без знака минус (по дефиниция амплитуда е само положителна величина). Знакът – показва, че трептенията на двете тела се извършват в противофаза – когато едната пружина се свива, другата се разтяга и обратно.

(Бележка на транскрипцията: и двата корена са отпечатани с означение $\nu_1^2$ ; вторият очевидно трябва да е $\nu_2^2$ . Липсва и затваряща квадратна скоба във второто уравнение — и двете са запазени дословно.)

Оригинал в Архива: proletni_2009_11-12problems.pdf · официални решения: proletni_2009_11-12solutions.pdf