Съдържание

НПСФ 2009, 9. клас — Задача 2. Обърната чаша, потапяна във вода

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НПСФ 2009

Национално пролетно състезание по физика, 28 февруари 2009 г., Велинград — Тема 9 клас · 28 февруари 2009 г. · 10 т.

Условие

На каква дълбочина трябва да се потопи във вода тънкостенна чаша, обърната с дъното нагоре, така че да потъне под действие на собствената си тежест. Масата и обема на чашата са съответно $m = 100\ \mathrm{g}$ и $V = 200\ \mathrm{m}\ell$ . Атмосферното налягане е $p_0 = 10^5\ \mathrm{Pa}$ . Плътността на водата е $\rho = 10^3\ \mathrm{kg/m^3}$ . Земното ускорение е $g = 10\ \mathrm{m/s^2}$ .

Указание: Приемаме, че чашата се потапя във водата много бавно, като във всеки момент чашата и намиращата се в нея вода са в равновесие. Приемете също така, че температурата на въздуха в чашата се запазва при потапянето на чашата.

а) Определете посоката на външната сила, която трябва да действа на чашата в началния етап на потопяването. [3 т.]

б) Опишете как ще се промени големината на силата на изтласкване (архимедовата сила) с увеличаването на дълбочината на потапяне на чашата. [2 т.]

в) На каква дълбочина трябва да се потопи във вода тънкостенна чаша, обърната с дъното нагоре, така че да потъне под действие на собствената си тежест. [5 т.]

Решение

а) Определете посоката на външната сила, която трябва да действа на чашата в началния етап на потопяването. (2 точки)

Външната приложена сила която, трябва да действа на чашата в началния етап на потопяването трябва да уравновесява силата на тежестта действаща върху чашата и изтласкващата (архимедова) сила действаща върху нея. В началния момент, силата на изтласкване има следната големина:

F_A = \rho V g = \left(10^3\ \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^3}\right)\left(200\cdot 10^{-3}\cdot 10^{-3}\ \mathrm{m}^3\right)\left(10\ \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}\right) = 2\ \mathrm{N}.

Силата на тежестта действуваща върху чашата има следната големина:

G = mg = \left(0{,}1\ \mathrm{kg}\right)\left(10\ \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}\right) = 1\ \mathrm{N}.

Силата на изтласкване е по-голяма от силата на тежестта. Следователно външната приложена сила трябва да бъде насочена надолу. (1 точка)

б) Опишете как се променя на големината на силата на изтласкване(архимедовата сила) с увеличаването на дълбочината на потапяне на чашата.

С увеличаването на дълбочината на потапяне на чашата, обема заеман от въздуха в чашата ще намалява, поради навлизане на вода в нея. Тъй като изтласкващата сила (архимедова сила) е правопропорционална на обема на въздуха в чашата, то тя ще намалява по големина. (2 точки)

в) На каква дълбочина трябва да се потопи във вода тънкостенна чаша, обърната с дъното нагоре, така че да потъне под действие на собствената си тежест.

Това е дълбочината на която силата на изтласкване (архимедовата сила) ще стане равна на силата на тежестта действаща на чашата.

Големината на силата на изтласкване (архимедовата сила) на търсената дълбочина h ще бъде равна на

F_A = \rho V_1 g,

където $V_1$ е обема на въздуха в чашата на тази дълбочина.

Големината на обема $V_1$ определяме чрез указаната изотермичност на процеса на свиване на въздуха в чашата при нейното потапяне. Прилагаме закона на Бойл- Мариот и получаваме:

p_0 V = \left(p_0 + \rho g h\right)V_1,

където $\rho g h$ е хидростатичното налягане на търсената дълбочина. Следователно, големината на обема $V_1$ ще бъде равна на:

V_1 = \frac{p_0 V}{\left(p_0 + \rho g h\right)}

Големината на силата на изтласкване (архимедовата сила) на търсената дълбочина h ще бъде равна на

F_A = \rho V_1 g = \rho \frac{p_0 V}{\left(p_0 + \rho g h\right)} g.

От условието на търсената дълбочина силата на изтласкване да бъде равна на силата на тежестта получаваме общия вид на формулата за търсената дълбочина:

F_A = G \Rightarrow \rho \frac{p_0 V}{\left(p_0 + \rho g h\right)} g = mg

(4 точки)

\Rightarrow h = \frac{p_0}{\rho g}\left(\frac{\rho V}{m} - 1\right)

За числената стойност на търсената дълбочина получаваме:

h = \frac{p_0}{\rho g}\left(\frac{\rho V}{m} - 1\right) = \frac{\left(10^5\ \frac{\mathrm{N}}{\mathrm{m}^2}\right)}{\left(10^3\ \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^3}\right)\left(10\ \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}\right)}\left(\frac{\left(10^3\ \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^3}\right)\left(2\cdot 10^{-4}\ \mathrm{m}^3\right)}{10^{-1}\ \mathrm{kg}} - 1\right) = 10\ \mathrm{m}

(1 точка)

Оригинал в Архива: proletni_2009_9problems.pdf · официални решения: proletni_2009_9solutions.pdf