НПСФ 2009, Специална тема — Задача 1. Удар на метеорит с планета

МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА Национално пролетно състезание по физика, Велинград, 28 февруари 2009 г. Специална тема · 28 февруари 2009 г.

Условие

Еднородна планета с радиус $r_\Pi = 6400$ km и плътност $\rho = 5{,}5\cdot10^{3}\ \mathrm{kg/m^3}$ се движи със скорост $v_\Pi = 30$ km/s около звезда по кръгова орбита с радиус $R$. Периодът на обикаляне е $T = 365$ дни. Метеорит с радиус $r_\mathrm{M} = 10$ km и същата плътност застига планетата със скорост с големина спрямо звездата в момента на удара $v_\mathrm{M} = 45$ km/s и посока, успоредна на скоростта на планетата. Отбелязвайте масите на планетата и метеорита съответно с $M$ и $m$.

а) получете формула за скоростта $v'_\Pi$ на планетата след удара [0,5 т.]

б) получете приближена формула за промяната на скоростта на планетата $\Delta v = v'_\Pi - v_\Pi$, ако $m \ll M$ [0,5 т.]

в) нека $R'$ е разстоянието на максимално отдалечаване на планетата от звездата след удара. Изразете $R'$ чрез $R$, $v_\Pi$ и $v'_\Pi$ [1 т.]

г) получете приближена (с точност до линейни членове) формула за $R'$, изразен чрез $R$, $v_\Pi$ и $\Delta v$ [0,5 т.]

д) като намерите периода на обикаляне на планетата след удара $T'$, намерете промяната на периода $\Delta T = T' - T$ и я изчислете в секунди [2 т.]

е) Планетата се върти преди удара с период $T_\mathrm{B} = 24$ h. Оста на планетата е перпендикулярна на равнината на орбитата, а посоката на въртене е същата като посоката на обикаляне на планетата около звездата. Метеоритът удря планетата в точка от екватора, където е пладне (т.е. тангенциално на повърхността на планетата), след което остава на мястото на удара. Намерете приближена формула за промяната на периода $\Delta T_\mathrm{B}$ на въртене на планетата и я изчислете в секунди [1,5 т.]

ж) намерете приближена формула за промяната $\Delta E_\mathrm{кин}^{посм}$ на кинетичната енергия на постъпателното движение на системата планета-метеорит вследствие на удара [1,5 т.]

з) намерете приближена формула за промяната $\Delta E_\mathrm{кин}^{върт}$ на кинетичната енергия на въртеловото движение на планетата вследствие на удара [0,5 т.]

и) намерете и изчислете отношението $\Delta E_\mathrm{кин}^{върт} / \Delta E_\mathrm{кин}^{посм}$ [0,5 т.]

й) енергията, отделяща се при взривове, се мери в т.нар. тротилов (TNT - тринитротолуен) еквивалент. Приема се, че при взрив на 1 g TNT се отделя 1000 cal топлина, или 1 kt (килотон) TNT = $4{,}2\cdot10^{12}$ J. Енергията на взрива на атомната бомба, взривена над Хирошима през 1945 г., е била 13 kt TNT. Изчислете енергията $E_\mathrm{В}$ на взрива, получаващ се от удара на метеорита в планетата, в единици „бомби над Хирошима“ [0,5 т.]

к) много груб модел предполага, че 1/15 от енергията $E_\mathrm{В}$ на удара загрява и стопя част от повърхността на планетата с формата на конус с радиус $n\,r_\mathrm{M}$ и височина (дълбочина) $2\,r_\mathrm{M}/n$. Предполага се, че кратерът, образуван от метеорита има размерите на този конус. Изчислете неизвестното $n$ и определете размерите на кратера. Температурата на планетата е $T_\Pi = 0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, температурата на топене на повърхността $T_\mathrm{т} = 1000\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, специфичният топлинен капацитет на повърхността е $c = 1{,}1\cdot10^{3}$ J/kg.K, а специфичната топлина на топене на повърхността е $q = 4{,}1\cdot10^{5}$ J/kg. [1 т.]

Отговори

Решение

---

Оригинал в Архива: proletni_2009_STproblems.pdf · официални решения: proletni_2009_STsolutions.pdf