НПСФ 2009, Специална тема — Задача 2. Графен и въглеродни нанотръбички

МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА Национално пролетно състезание по физика, Велинград, 28 февруари 2009 г. Специална тема · 28 февруари 2009 г.

Условие

Молекулна структура от въглеродни атоми, подредени по показания на фигурата начин в една единствена равнина, се нарича графен. В графена всеки въглероден атом с маса $m = 12$ а.е. образува три връзки (сключващи ъгъл $120^\circ$) с три съседни въглеродни атома. Дължината на всяка C-C връзка е $d = 1{,}421$ Å. Силата на химичната връзка може да се моделира като безмасова пружинка с дължина $d$ в неразтегнато състояние и коефициент на еластичност $k = 596$ N/m.

а) получете формула за честотата $\nu_0$ на трептенето на въглеродните атоми в графена, нарисувано в горния десен ъгъл на фигурата. Приемете, че амплитудата на трептенето $A \ll d$, както и че, изменението на ъглите между C-C връзките е несъществено. Изчислете стойността на $\nu_0$ в извънсистемната единица cm$^{-1}$ [2 т.]

б) Нека от равнината на графена „изрежем“ (по пунктираните линии на фигурата) ивица със широчина $C_{\mathrm{п},p}$, където $C_{\mathrm{п},p}$ е големината на т.нар. „хирален вектор“ $\vec{C}_{n,p} = n\vec{a}_1 + p\vec{a}_2$. Дефинирането на векторите $\vec{a}_1$ и $\vec{a}_2$ е дадено на фигурата. Даден е и един примерен хирален вектор $\vec{C}_{2,3} = 2\vec{a}_1 + 3\vec{a}_2$. Ако от тази ивица се направи цилиндър като се „слепят“ ръбовете й, се получава въглеродна нанотръбичка от тип $(n,p)$ с радиус $R_{\mathrm{п},p}$, т.е. всички въглеродни атоми лежат на този цилиндър като разстояния между най-близко съседи остават равни на $d$. Приемете, че $R_{\mathrm{п},p} \gg d$. Получете $R_{\mathrm{п},p} = f(d,n,p)$ [1,5 т.]

в) оказва се, че нанотръбичките от тип $(n,p)$ с $n$ и $p$ такива, че $|n-p| = 3u$, $u$ – цяло число, са проводящи. Нека към една такава тръбичка добавим такова количество електричен заряд, че на всеки въглероден атом да се пада заряд $xe$, ($x$-число, $e$ - заряд на електрона). Разглеждайки нанотръбичката като еднородна непрекъсната среда, намерете повърхнинната плътност на заряда (количество заряд на единица площ) $\sigma = \dfrac{\Delta q}{\Delta S}$ [1 т.]

г) използвайки теоремата на Гаус, намерете интензитета $E(r)$ на електричното поле за точки вътре и вън от нанотръбичката и докажете, че електричната сила $F_{1\mathrm{C}}$, която действа на всеки въглероден атом, при добавен към нанотръбичката електричен заряд $xe$/1C, ще има големина $F_{1\mathrm{C}} = \dfrac{2}{3\sqrt{3}}\dfrac{x^2e^2}{\varepsilon_0 d^2}$ [1,5 т.]

д) нанотръбичка от тип $(n,0)$ или $(0,p)$ е от тип - „зиг-заг“. Нарича се така, защото за въглеродни атоми, лежащи в равнина, перпендикулярна на оста на цилиндъра, свързващите ги C-C връзки образуват „зиг-заг“-образна затворена начупена линия. Третите C-C връзки на тези атоми са успоредни на оста на цилиндъра. При $n$ (или $p$) $= 3u$, $u$ – цяло число, тя ще бъде проводяща „зиг-заг“ нанотръбичка. При зареждане на такава неутрална тръбичка с електричен заряд $xe$/1C, нейният радиус ще се промени с $\Delta R$. Намерете $\Delta R = f(k,d,n,x)$. Приемете, че $\Delta R \ll R_{n,0}$ и изменението на ъглите между C-C връзките е несъществено [2 т.]

е) оказва се, че трептенето с честота $\nu_0$, намерено в подусловие а) за графена, има почти същата честота и в нанотръбичките. В тях съществува и друго трептене, при което всички атоми трепят (почти) радиално във фаза, оставяйки винаги на повърхността на цилиндър. Това трептене се нарича „дишащо“. Използвайки резултатите от подусловие д), намерете формула за честотата $\nu_1$ на това трептене за $(n,0)$ тръбички $\nu_1 = f(k,m,d,n)$. Предполагайки, че тази формула важи за всички нанотръбички (не само за тези от тип „зиг-заг“), получете удобна за прилагане емпирична формула $\nu_1[\mathrm{cm}^{-1}] = f(R_{\mathrm{п},p}[\mathrm{\AA}])$ (т.е. като заместите в тази формула радиуса $R_{\mathrm{п},p}$ на нанотръбичката в Å да получите честотата $\nu_1$ на „дишащото“ трептене в cm$^{-1}$) [2 т.]

Отговори

Решение

---

Оригинал в Архива: proletni_2009_STproblems.pdf · официални решения: proletni_2009_STsolutions.pdf