Съдържание

НПСФ 2009, Специална тема — Задача 2. Графен и въглеродни нанотръбички

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НПСФ 2009

МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА · Национално пролетно състезание по физика, Велинград, 28 февруари 2009 г. · Специална тема · 28 февруари 2009 г.

Условие

Молекулна структура от въглеродни атоми, подредени по показания на фигурата начин в една единствена равнина, се нарича графен. В графена всеки въглероден атом с маса $m = 12$ а.е. образува три връзки (сключващи ъгъл $120^\circ$ ) с три съседни въглеродни атома. Дължината на всяка C-C връзка е $d = 1{,}421$ Å. Силата на химичната връзка може да се моделира като безмасова пружинка с дължина $d$ в неразтегнато състояние и коефициент на еластичност $k = 596$ N/m.

а) получете формула за честотата $\nu_0$ на трептенето на въглеродните атоми в графена, нарисувано в горния десен ъгъл на фигурата. Приемете, че амплитудата на трептенето $A \ll d$ , както и че, изменението на ъглите между C-C връзките е несъществено. Изчислете стойността на $\nu_0$ в извънсистемната единица cm $^{-1}$ [2 т.]

б) Нека от равнината на графена „изрежем“ (по пунктираните линии на фигурата) ивица със широчина $C_{n,p}$ , където $C_{n,p}$ е големината на т. нар. „хирален вектор“ $\vec{C}_{n,p} = n\vec{a}_1 + p\vec{a}_2$ . Дефинирането на векторите $\vec{a}_1$ и $\vec{a}_2$ е дадено на фигурата. Даден е и един примерен хирален вектор $\vec{C}_{2,3} = 2\vec{a}_1 + 3\vec{a}_2$ . Ако от тази ивица се направи цилиндър като се „слепят“ ръбовете ѝ, се получава въглеродна нанотръбичка от тип $(n,p)$ с радиус $R_{n,p}$ , т.е. всички въглеродни атоми лежат на този цилиндър като разстоянията между най-близките съседи остават равни на $d$ . Приемете, че $R_{n,p} \gg d$ . Получете $R_{n,p} = f(d,n,p)$ [1,5 т.]

Хексагонална решетка (графен) с означени дължина на връзката d, пружинка с k, атоми C, вектори a₁, a₂ и хирален вектор C₂,₃; пунктирани линии показват ивиците за навиване.

в) оказва се, че нанотръбичките от тип $(n,p)$ с $n$ и $p$ такива, че $|n-p| = 3u$ , $u$ – цяло число, са проводящи. Нека към една такава тръбичка добавим такова количество електричен заряд, че на всеки въглероден атом да се пада заряд $xe$ , ( $x$ -число, $e$ - заряд на електрона). Разглеждайки нанотръбичката като еднородна непрекъсната среда, намерете повърхнинната плътност на заряда (количество заряд на единица площ) $\sigma = \dfrac{\Delta q}{\Delta S}$ [1 т.]

г) използвайки теоремата на Гаус, намерете интензитета $E(r)$ на електричното поле за точки вътре и вън от нанотръбичката и докажете, че електричната сила $F_{1\mathrm{C}}$ , която действа на всеки въглероден атом, при добавен към нанотръбичката електричен заряд $xe$ /1C, ще има големина $F_{1\mathrm{C}} = \dfrac{2}{3\sqrt{3}}\dfrac{x^2e^2}{\varepsilon_0 d^2}$ [1,5 т.]

д) нанотръбичка от тип $(n,0)$ или $(0,p)$ е от тип - „зиг-заг“. Нарича се така, защото за въглеродни атоми, лежащи в равнина, перпендикулярна на оста на цилиндъра, свързващите ги C-C връзки образуват „зиг-заг“-образна затворена начупена линия. Третите C-C връзки на тези атоми са успоредни на оста на цилиндъра. При $n$ (или $p$ ) $= 3u$ , $u$ – цяло число, тя ще бъде проводяща „зиг-заг“ нанотръбичка. При зареждане на такава неутрална тръбичка с електричен заряд $xe$ /1C, нейният радиус ще се промени с $\Delta R$ . Намерете $\Delta R = f(k,d,n,x)$ . Приемете, че $\Delta R \ll R_{n,0}$ и изменението на ъглите между C-C връзките е несъществено [2 т.]

е) оказва се, че трептенето с честота $\nu_0$ , намерено в подусловие а) за графена, има почти същата честота и в нанотръбичките. В тях съществува и друго трептене, при което всички атоми трептят (почти) радиално във фаза, оставайки винаги на повърхността на цилиндър. Това трептене се нарича „дишащо“. Използвайки резултатите от подусловие д), намерете формула за честотата $\nu_1$ на това трептене за $(n,0)$ тръбички $\nu_1 = f(k,m,d,n)$ . Предполагайки, че тази формула важи за всички нанотръбички (не само за тези от тип „зиг-заг“), получете удобна за прилагане емпирична формула $\nu_1[\mathrm{cm}^{-1}] = f(R_{n,p}[\mathrm{\AA}])$ (т.е. като заместите в тази формула радиуса $R_{n,p}$ на нанотръбичката в Å да получите честотата $\nu_1$ на „дишащото“ трептене в cm $^{-1}$ ) [2 т.]

Отговори

Решение

Задача 2. Графен и въглеродни нанотръбички.

а) Нека отместването на един въглероден атом е $x$ в посока на едната C-C връзка. Съгласно нарисуваните отмествания в това трептене, едната пружинка (тази, към която атомът е отместен) е свита с $2x$ [0,2 т], а другите две връзки симетрично са разтегнати с някакво неизвестно разтягане $y$ ( $y = d' - d$ ). То може да се определи от косинусовата теорема: $\left(\dfrac{d'}{2}\right)^2 = \left(\dfrac{d}{2}\right)^2 + x^2 - 2\left(\dfrac{d}{2}\right)x\cos 120^\circ$ (2.1), откъдето $d' = d\sqrt{1 + \dfrac{2x}{d} + 4x^2} \approx d + x$ (2.2). Следователно $y = x$ [0,5 т] (2.3). На разглеждания атом действат три сили: $|\vec{F}_1| = k2x$ , $|\vec{F}_2| = |\vec{F}_3| = kx$ (2.4). Ъглите, които $\vec{F}_1$ сключва с $\vec{F}_2$ и $\vec{F}_3$ са равни на $60^\circ$ . Следователно резултантната сила $|\vec{F}_{рез}| = |\vec{F}_1 + \vec{F}_2 + \vec{F}_3| = |\vec{F}_1| + |\vec{F}_2 + \vec{F}_3| = |\vec{F}_1| + |\vec{F}_2| = k2x + kx = 3kx = ma$ [0,5 т] (2.5). Това е уравнение на линеен хармоничен осцилатор с честота $\nu_0 = \dfrac{1}{2\pi}\sqrt{\dfrac{3k}{m}}$ [0,3 т] (2.6). За стойността на $\nu_0$ се получава $\nu_0 = \dfrac{1}{2\pi}\sqrt{\dfrac{3\cdot 596\,\mathrm{N/m}}{12\cdot 1{,}66\cdot10^{-27}\,\mathrm{kg}}} = 4{,}77\cdot10^{13}\,\mathrm{Hz} = 1590\,\mathrm{cm}^{-1}$ [0,5 т].

б) Получаваме формула за големината на хиралния вектор $C_{n,p}$ . От косинусовата теорема $C_{n,p}^2 = n^2a_1^2 + p^2a_2^2 - 2na_1pa_2\cos 120^\circ$ [0,5 т] (2.7). Тъй като $|\vec{a}_1| = |\vec{a}_2| = \sqrt{3}d$ [0,3 т] (2.8), то $C_{n,p} = \sqrt{3}d\sqrt{n^2 + p^2 + np}$ [0,2 т] (2.9). Тъй като дължината на този вектор е приблизително равна на обиколката на цилиндъра, то $R_{n,p} \approx \dfrac{C_{n,p}}{2\pi} = \dfrac{\sqrt{3}d\sqrt{n^2 + p^2 + np}}{2\pi}$ [0,5 т] (2.10).

в) Разглеждайки равнината на графена, може да се забележи, че на всеки въглероден атом се пада площ, равна на площта на равностранен триъгълник със страна $h = \sqrt{3}d$ [0,3 т]. Площта на такъв триъгълник е $S_{1\mathrm{C}} = \dfrac{1}{2}h\,h\,\dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{3\sqrt{3}}{4}d^2$ [0,2 т] (2.11). Следователно $\sigma = \dfrac{4xe}{3\sqrt{3}d^2}$ [0,5 т] (2.12).

г) Теоремата на Гаус твърди, че $\Phi = \oint\limits_S \vec{E}\,d\vec{s} = \dfrac{Q}{\varepsilon_0}$ (2.13). Избирайки за затворена повърхност цилиндър с радиус $r$ и ос, съвпадаща с оста на нанотръбичката, и „капаци“ – кръгове, перпендикулярни на оста на цилиндъра и разстояние $z$ между „капаците“, то потока на интензитета на електричното поле през „капаците“ ще е нула, а през околната повърхност - $E(r)\,2\pi r z$ . Тогава $\Phi(r > R_{n,p}) = E(r)\,2\pi r z = \dfrac{\sigma 2\pi R_{n,p} z}{\varepsilon_0}$ (2.14) и $\Phi(r < R_{n,p}) = 0$ (2.15). Следователно $E(r > R_{n,p}) = \dfrac{\sigma}{\varepsilon_0}\dfrac{R_{n,p}}{r}$ (2.16) и $E(r < R_{n,p}) = 0$ [0,3 т] (2.17). Нека отделим част от цилиндричната повърхност, достатъчно малка, че да можем да я разглеждаме като равнина (т.е. с размери $L \ll R_{n,p}$ ). Прилагайки отново теоремата на Гаус за точки, намиращи се много близко до тази част (т.е. разстоянието от точките до частта $t \ll L$ за да имаме право да разглеждаме тази част като безкрайна равнина) получаваме, че интензитета на електричното поле $E_1$ , създадено от тази част и от двете страни (отвътре и отвън на цилиндъра) е $E_1(z) = \dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}$ [0,2 т] (2.18). Тъй като резултантното поле е сума на полето на разглежданата от нас част и останалата част на цилиндъра, то следва, че тази част се намира в поле с интензитет $E_2 = \dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}$ . Следователно на всеки въглероден атом ще действа поле $E_2 = \dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}$ [0,5 т] (2.19). Използвайки (2.12) и (2.19), силата $F_{1\mathrm{C}} = xeE_2 = xe\dfrac{4xe}{3\sqrt{3}d^2\,2\varepsilon_0} = \dfrac{2}{3\sqrt{3}}\dfrac{x^2e^2}{\varepsilon_0 d^2}$ [0,5 т] (2.20).

д) на всеки атом ще действат 4 сили – три еластични и една електрична (виж 2.20). В равнината, допирателна към цилиндъра в точката, където се намира атома, проекции имат само трите еластични сили. Тъй като ъглите между тях остават много близки до $120^\circ$ , то тези три сили трябва да са равни [0,3 т]. Следователно, разтягането $z$ на трите C-C връзки трябва да е едно и също [0,2 т]. От (2.10) следва, че $R_{n,0} = \dfrac{\sqrt{3}dn}{2\pi}$ (2.21). Промяната на радиуса е $\Delta R_{n,0} = \dfrac{\sqrt{3}n\Delta d}{2\pi} = \dfrac{\sqrt{3}nz}{2\pi}$ [0,3 т] (2.22). От трите еластични сили, едната е успоредна на оста на цилиндъра, следователно радиална ѝ проекция е нула [0,2 т]. На останалите две сили (от „зиг-заг“-образните връзки) само проекцията им $F_\perp$ в равнина, перпендикулярна на оста на цилиндъра има принос към резултантната еластична сила $F_{еласт}$ . $F_\perp = \dfrac{\sqrt{3}}{2}F_{зиг-заг} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}kz$ [0,2 т] (2.23). От геометрични съображения (подобни триъгълници) следва, че $\dfrac{F_{еласт}}{F_\perp} = \dfrac{\frac{\sqrt{3}}{2}d}{R_{n,0}}$ (2.24). Тъй като атомът е в равновесие $F_{1\mathrm{C}} = F_{еласт}$ (2.25). Отчитайки (2.22) - (2.25) получаваме $F_{1\mathrm{C}} = \dfrac{2}{3\sqrt{3}}\dfrac{x^2e^2}{\varepsilon_0 d^2} = \dfrac{\frac{\sqrt{3}}{2}d}{R_{n,0}}F_\perp = \dfrac{3}{4}\dfrac{kdz}{R_{n,0}} = \dfrac{3}{4}kdz\dfrac{2\pi}{\sqrt{3}dn}$ (2.26). От (2.26) и (2.22) намираме $\Delta R = \dfrac{2}{3\sqrt{3}\pi^2}\dfrac{n^2x^2e^2}{\varepsilon_0 kd^2}$ [0,8 т] (2.27).

е) можем да очакваме че отместванията на атомите в „дишащото“ трептене ще бъдат като тези при добавяне на електричен заряд. Следователно еластичната сила $F_{еласт}$ ще бъде възвръщаща сила [0,2 т]. От (2.24) получаваме $F_{еласт} = \dfrac{\sqrt{3}d}{2}\dfrac{\sqrt{3}kz}{2}\dfrac{2\pi}{\sqrt{3}dn} = \dfrac{\sqrt{3}\pi kz}{2n}$ [0,3 т] (2.28). Замествайки $z$ от (2.22) в (2.28) получаваме $F_{еласт} = \dfrac{\sqrt{3}\pi kz}{2n} = \dfrac{\sqrt{3}\pi k}{2n}\dfrac{2\pi\Delta R_{n,0}}{\sqrt{3}n} = \dfrac{\pi^2 k}{n^2}\Delta R_{n,0} = ma = m\dfrac{d^2(\Delta R_{n,0})}{dt^2}$ [0,5 т] (2.29). Следователно $\nu_1 = \dfrac{1}{2\pi}\sqrt{\dfrac{\pi^2 k}{n^2 m}} = \dfrac{1}{2\pi}\dfrac{\pi}{n}\sqrt{\dfrac{k}{m}}$ [0,5 т] (2.30). Сравнявайки $\nu_1$ от (2.30) с $\nu_0$ от (2.6), получаваме $\dfrac{\nu_1}{\nu_0} = \dfrac{\frac{1}{2\pi}\frac{\pi}{n}\sqrt{\frac{k}{m}}}{\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{3k}{m}}} = \dfrac{\pi}{\sqrt{3}n}$ (2.31). Използвайки (2.21) $\dfrac{\nu_1}{\nu_0} = \dfrac{\pi\sqrt{3}d}{\sqrt{3}\,2\pi R_{n,0}} = \dfrac{d}{2R_{n,0}}$ (2.32). Следователно $\nu_1 = \dfrac{1590\,\mathrm{cm}^{-1}\, 1.421\,\mathrm{A}}{2R_{n,0}}$ или $\nu_1[\mathrm{cm}^{-1}] = \dfrac{1130}{R_{n,p}[\mathrm{A}]}$ [0,5 т] (2.33).

Полезна математика

Ако $|x| \ll 1$ , то $(1+x)^n \approx 1+nx$ , обем на конус $V = \dfrac{1}{3}\pi r^2 h$ , $\dfrac{df}{dx} = \dfrac{df}{dy}\dfrac{dy}{dx}$

Полезна физика

Закони на Кеплер:

Планетите се движат по елипси като Слънцето се намира в единия от двата фокуса на елипсата.
При движението на една планета по орбитата ѝ, площната ѝ скорост $\dfrac{\Delta S}{\Delta t} = \dfrac{1}{2}r^2\omega = const.$
Ако две планети 1 и 2, обикалящи около Слънцето, имат съответно периоди на обикаляне и големи полуоси на орбитите си $T_1$ и $T_2$ и $a_1$ и $a_2$ , то $\dfrac{T_1^2}{T_2^2} = \dfrac{a_1^3}{a_2^3}$ .

Закон на Вин: произведението от дължината на вълната $\lambda_{\max}$ в максимума на плътността на яркостта на излъчването по дължина на вълната $L_\lambda = \dfrac{dL}{d\lambda}$ и температурата на идеално черно тяло е константа: $\lambda_{\max}.T = b$ ( $b$ – константа на Вин).

Инерчен момент на еднородно кълбо $I = \dfrac{2}{5}mr^2$ ,

1 а.е. = $1{,}66\cdot10^{-27}$ kg, $\nu\left[\mathrm{cm}^{-1}\right] = \dfrac{\nu[\mathrm{Hz}]}{3\cdot10^{10}}$ , $e = 1{,}60\cdot10^{-19}$ C,

$\varepsilon_0 = 8{,}85\cdot10^{-12}\,\dfrac{\mathrm{C}^2}{\mathrm{N.m}^2}$ , 1Å = $1\cdot10^{-10}$ m, $h = 6{,}626\cdot10^{-34}$ J.s,

$c = 2{,}998\cdot10^{8}$ m/s, $k = 1{,}381\cdot10^{-23}$ J/K

Оригинал в Архива: proletni_2009_STproblems.pdf · официални решения: proletni_2009_STsolutions.pdf