Съдържание

НПСФ 2009, Специална тема — Задача 3. Реликтово лъчение и константа на Вин

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НПСФ 2009

МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА · Национално пролетно състезание по физика, Велинград, 28 февруари 2009 г. · Специална тема · 28 февруари 2009 г.

Условие

Едно от най-сериозните експериментални доказателства в полза на теорията за „Големия взрив“ е наличието във Вселената на изотропно топлинно лъчение с температура $T_{рел}$ , наречено реликтово. Енергетичните свойства на топлинно лъчение могат да се опишат чрез излъчвателните свойства на идеално черно тяло, което е в равновесие с това лъчение. Честотната плътност на яркостта (т.е. излъчената енергия от единица площ за единица време в единица пространствен ъгъл в единица честотен интервал) на идеално черно тяло се дава с формулата

L_\nu = \dfrac{dL}{d\nu} = \dfrac{dE}{dS\,.dt\,.d\Omega\,.d\nu} = \dfrac{2h\nu^3}{c^2}\dfrac{1}{e^{\frac{h\nu}{kT}} - 1}\,,

където $h$ е константата на Планк, $c$ е скоростта на светлината, а $k$ е константата на Болцман. Съвременните експериментални измервания на реликтовото лъчение дават следните резултати (в термини на $L_\nu$ , виж таблицата):

$\nu$ , GHz	$L_\nu$ , $\dfrac{\mathrm{J}}{\mathrm{m^2.s.sr.Hz}}$
10,0	$7{,}0\cdot10^{-20}$
30,0	$6{,}0\cdot10^{-19}$
60,0	$1{,}5\cdot10^{-18}$
100	$3{,}0\cdot10^{-18}$
200	$3{,}5\cdot10^{-18}$
300	$2{,}0\cdot10^{-18}$
400	$8{,}0\cdot10^{-19}$
500	$3{,}0\cdot10^{-19}$

а) като преобразувате дадената ви формула, измислете такива нови променливи $y$ и $x$ , (функции на дадените променливи $\nu$ и $L_\nu$ ) че графиката $y(x)$ на експерименталната зависимост да е права линия [1 т.]

б) Начертайте дадените данни на тази графика и от параметрите на правата изчислете $T_{рел}$ [4 т.]

в) от дадената формула за честотната плътност на яркостта $L_\nu$ , получете формула за плътността на яркостта по дължина на вълната $L_\lambda = \dfrac{dL}{d\lambda} = \dfrac{dE}{dS\,.dt\,.d\Omega\,.d\lambda}$ [0,5 т.]

г) целта е да се намери максимума при $\lambda_{\max}$ на функцията $L_\lambda$ . За да се справите с тази задача, първо трябва след преобразования да достигнете до трансцендентното уравнение $y = 5(1 - e^{-y})$ . Как се изразява $y$ чрез дадените в задачата параметри? [2,5 т.]

д) изчислете с 5 значещи цифри решението на горното трансцендентно уравнение, използвайки калкулатор (без програмиране). След това получете формула за константата на Вин $b$ и я изчислете [1,5 т.]

е) намерете $\lambda_{\max}$ за реликтовото лъчение [0,5 т.]

Отговори

Решение

Задача 3. Реликтово лъчение и константа на Вин.

а) след преобразувания формулата $L_\nu = \dfrac{2h\nu^3}{c^2}\dfrac{1}{e^{\frac{h\nu}{kT}} - 1}$ достига вида $\ln\left(\dfrac{2h\nu^3}{c^2 L_\nu} + 1\right) = \dfrac{h}{kT}\nu$ [0,7 т] (3.1). Следователно, ако положим $y = \ln\left(\dfrac{2h\nu^3}{c^2 L_\nu} + 1\right)$ (3.2), а $x = \nu$ [0,2 т], то зависимостта е $y = ax$ , т.е. права линия с наклон $a = \dfrac{h}{kT}$ (3.3) [0,1 т].

Графика $y = \ln(2h\nu^3/(c^2L_\nu)+1)$ спрямо $x = \nu$ (GHz) с осем експериментални точки и права $y = ax$, $a = 1{,}75\cdot10^{-2}\,\mathrm{GHz}^{-1}$.

б) стойностите на $y$ за дадените честоти са дадени в таблицата, а графиката е дадена на фигурата [3 т].

$\nu$ , GHz	$L_\nu$ , $\dfrac{\mathrm{J}}{\mathrm{m^2.s.sr.Hz}}$	$y$
10,0	$7{,}0.10^{-20}$	0,191
30,0	$6{,}0.10^{-19}$	0,508
60,0	$1{,}5.10^{-18}$	1,14
100	$3{,}0.10^{-18}$	1,78
200	$3{,}5.10^{-18}$	3,55
300	$2{,}0.10^{-18}$	5.30
400	$8{,}0.10^{-19}$	7,07
500	$3{,}0.10^{-19}$	8,72

Наклона на правата е $a = 1{,}75.10^{-2}\,\mathrm{GHz}^{-1}$ (3.4) [0,5 т]. Следователно $T_{рел} = \dfrac{h}{ka} = \dfrac{6{,}626.10^{-34}\,\mathrm{J.s}}{1{,}381.10^{-23}.1{,}75.10^{-11}\,\mathrm{Hz}^{-1}} = 2{,}74$ K [0,5 т]. Приетата в литературата стойност е $T_{рел} = 2{,}726$ K.

в) плътността на яркостта по дължина на вълната $L_\lambda = \dfrac{dL}{d\lambda} = \dfrac{dL}{d\nu}\left|\dfrac{d\nu}{d\lambda}\right| = \dfrac{2h\nu^3}{c^2}\dfrac{1}{e^{\frac{h\nu}{kT}} - 1}\left|-\dfrac{c}{\lambda^2}\right| = \dfrac{2hc^2}{\lambda^5}\dfrac{1}{e^{\frac{hc}{\lambda kT}} - 1}$ (3.5) [0,5 т].

г) екстремумите на функцията $L_\lambda$ са решения на уравнението $\dfrac{dL_\nu}{d\lambda} = 0$ [0,2 т] (3.6). Следователно $2hc^2\left[-\dfrac{5}{\lambda^6}\dfrac{1}{e^{\frac{hc}{\lambda kT}} - 1} + \dfrac{1}{\lambda^5}\dfrac{(-1)e^{\frac{hc}{\lambda kT}}.\dfrac{hc}{kT}(-1)\dfrac{1}{\lambda^2}}{\left(e^{\frac{hc}{\lambda kT}} - 1\right)^2}\right] = 0$ [0,6 т] (3.7). След опростяване (3.7) се свежда до $5 = \dfrac{hc}{\lambda kT}\dfrac{e^{\frac{hc}{\lambda kT}}}{e^{\frac{hc}{\lambda kT}} - 1}$ [0,6 т] (3.8). Ако положим $y = \dfrac{hc}{\lambda kT}$ [0,6 т], (3.8) се преобразува до $y = 5\left(1 - e^{-y}\right)$ [0,5 т] (3.9).

д) анализирайки трансцендентното уравнение (3.9), може да се стигне до извода, че решението е число, много близко до 5 [0,3 т]. Използваме итерационен метод за намиране на решението, т.е. предполагаме, че решението е 5 и пресмятаме дясната страна. Резултатът е 4,96631. С това число наново пресмятаме дясната страна. Резултатът е 4,96526, Третата стъпка дава 4,96512, четвъртата - 4,96511, а петата – 4,96511. Можем да предположим (без сериозна математическа обосновка), че редицата е бързо сходяща и решението с 5 значещи цифри е $y_{\max} = 4{,}9651$ [0,7 т] (3.10). От (3.8) и (3.10) следва, че $y_{\max} = 4{,}9651 = \dfrac{hc}{\lambda_{\max} kT}$ . Така за константата на Вин получаваме $b = \lambda_{\max}T = \dfrac{hc}{y_{\max} k}$ (3.11) [0,2 т] $= \dfrac{6{,}626.10^{-34}\,\mathrm{J.s}.2{,}998.10^8\,\mathrm{m/s}}{4{,}9651.1{,}381.10^{-23}\,\mathrm{J/K}} = 2{,}897.10^{-3}\,\mathrm{m.K}$ [0,3 т].

е) от (3.11) пресмятаме $\lambda_{\max}$ за реликтовото лъчение: $\lambda_{\max} = \dfrac{2{,}897.10^{-3}\,\mathrm{m.K}}{2{,}75\,\mathrm{K}} = 1{,}05.10^{-3}\,\mathrm{m} = 1{,}05$ mm [0,5 т].

Полезна математика

Ако $|x| \ll 1$ , то $(1+x)^n \approx 1+nx$ , обем на конус $V = \dfrac{1}{3}\pi r^2 h$ , $\dfrac{df}{dx} = \dfrac{df}{dy}\dfrac{dy}{dx}$

Полезна физика

Закони на Кеплер:

Планетите се движат по елипси като Слънцето се намира в единия от двата фокуса на елипсата.
При движението на една планета по орбитата ѝ, площната ѝ скорост $\dfrac{\Delta S}{\Delta t} = \dfrac{1}{2}r^2\omega = const.$
Ако две планети 1 и 2, обикалящи около Слънцето, имат съответно периоди на обикаляне и големи полуоси на орбитите си $T_1$ и $T_2$ и $a_1$ и $a_2$ , то $\dfrac{T_1^2}{T_2^2} = \dfrac{a_1^3}{a_2^3}$ .

Закон на Вин: произведението от дължината на вълната $\lambda_{\max}$ в максимума на плътността на яркостта на излъчването по дължина на вълната $L_\lambda = \dfrac{dL}{d\lambda}$ и температурата на идеално черно тяло е константа: $\lambda_{\max}.T = b$ ( $b$ – константа на Вин).

Инерчен момент на еднородно кълбо $I = \dfrac{2}{5}mr^2$ ,

1 а.е. = $1{,}66\cdot10^{-27}$ kg, $\nu\left[\mathrm{cm}^{-1}\right] = \dfrac{\nu[\mathrm{Hz}]}{3\cdot10^{10}}$ , $e = 1{,}60\cdot10^{-19}$ C,

$\varepsilon_0 = 8{,}85\cdot10^{-12}\,\dfrac{\mathrm{C}^2}{\mathrm{N.m}^2}$ , 1Å = $1\cdot10^{-10}$ m, $h = 6{,}626\cdot10^{-34}$ J.s,

$c = 2{,}998\cdot10^{8}$ m/s, $k = 1{,}381\cdot10^{-23}$ J/K

Оригинал в Архива: proletni_2009_STproblems.pdf · официални решения: proletni_2009_STsolutions.pdf