НПСФ 2009, Специална тема — Задача 3. Реликтово лъчение и константа на Вин

МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА Национално пролетно състезание по физика, Велинград, 28 февруари 2009 г. Специална тема · 28 февруари 2009 г.

Условие

Едно от най-сериозните експериментални доказателства в полза на теорията за „Големия взрив“ е наличието във Вселената на изотропно топлинно лъчение с температура $T_{рел}$, наречено реликтово. Енергетичните свойства на топлинно лъчение могат да се опишат чрез излъчвателните свойства на идеално черно тяло, което е в равновесие с това лъчение. Честотната плътност на яркостта (т.е. излъчената енергия от единица площ за единица време в единица пространствен ъгъл в единица честотен интервал) на идеално черно тяло се дава с формулата

$L_\nu = \dfrac{dL}{d\nu} = \dfrac{dE}{dS\,.dt\,.d\Omega\,.d\nu} = \dfrac{2h\nu^3}{c^2}\dfrac{1}{e^{\frac{h\nu}{kT}} - 1}\,,$

където $h$ е константата на Планк, $c$ е скоростта на светлината, а $k$ е константата на Болцман. Съвременните експериментални измервания на реликтовото лъчение дават следните резултати (в термини на $L_\nu$, виж таблицата):

$\nu$, GHz	$L_\nu$, $\dfrac{\mathrm{J}}{\mathrm{m}^2\.\mathrm{s}.\mathrm{sr}.\mathrm{Hz}}$
10,0	$7{,}0\cdot10^{-20}$
30,0	$6{,}0\cdot10^{-19}$
60,0	$1{,}5\cdot10^{-18}$
100	$3{,}0\cdot10^{-18}$
200	$3{,}5\cdot10^{-18}$
300	$2{,}0\cdot10^{-18}$
400	$8{,}0\cdot10^{-19}$
500	$3{,}0\cdot10^{-19}$

а) като преобразувате дадената ви формула, измислете такива нови променливи $y$ и $x$, (функции на дадените променливи $\nu$ и $L_\nu$) че графиката $y(x)$ на експерименталната зависимост да е права линия [1 т.]

б) Начертайте дадените данни на тази графика и от параметрите на правата изчислете $T_{рел}$ [4 т.]

в) от дадената формула за честотната плътност на яркостта $L_\nu$, получете формула за плътността на яркостта по дължина на вълната $L_\lambda = \dfrac{dL}{d\lambda} = \dfrac{dE}{dS\,.dt\,.d\Omega\,.d\lambda}$ [0,5 т.]

г) целта е да се намери максимума при $\lambda_{\max}$ на функцията $L_\lambda$. За да се справите с тази задача, първо трябва след преобразования да достигнете до трансцендентното уравнение $y = 5(1 - e^{-y})$. Как се изразява $y$ чрез дадените в задачата параметри [2,5 т.]

д) изчислете с 5 значещи цифри решението на горното трансцендентно уравнение, използвайки калкулатор (без програмиране). След това получете формула за константата на Вин $b$ и я изчислете [1,5 т.]

е) намерете $\lambda_{\max}$ за реликтовото лъчение [0,5 т.]

Отговори

Решение

---

Оригинал в Архива: proletni_2009_STproblems.pdf · официални решения: proletni_2009_STsolutions.pdf