Съдържание

НПСФ 2010, 10. клас — Задача 3

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НПСФ 2010

Национално пролетно състезание по физика 2010, Тема 10 клас · 13 март 2010 г. · 10 т.

Условие

Оптично влакно се състои от цилиндрична сърцевина с радиус $a$ и показател на пречупване $n_1 = 1{,}500$ и обвивка с пръстеновидно напречно сечение с показател на пречупване $n_2 = 1{,}414$ . Краищата на влакното са перпендикулярни спрямо оста му и граничат с въздух ( $n_0 = 1$ ). В единия край (срез) на влакното (виж Фиг. 1), пада светлинен лъч под ъгъл $\alpha$ спрямо оста му.

Оптичното влакно и пълният ход на лъча. — Фиг. 1 схема на движението на лъча падащ върху оптичното влакно

а) Определете синуса на ъгъла на пречупване $\beta$ на падащия лъч в сърцевината на влакното. [1 т.]

б) Пресметнете синуса на граничния ъгъл $\gamma_0$ на пълно вътрешно отражение за границата между сърцевината и обвивката на оптичното влакно. [1 т.]

в) Напишете условието за ъгъла $\beta$ (спрямо оста на влакното) разпространяването под който позволява реализирането на пълно вътрешно отражение на границата между сърцевината и обвивката на оптичното влакно. Изразете условието чрез показателите на пречупване на сърцевината и обвивката на оптичното влакно [1 т.]

г) Напишете условието за максималния ъгъл $\alpha_{MAX}$ на падане на светлинен лъч върху сърцевината на влакното, позволяващо реализирането на пълно вътрешно отражение на границата между сърцевината и обвивката на оптичното влакно. Изразете условието чрез показателите на пречупване на сърцевината и обвивката на оптичното влакно. [2 т.]

Нека приемем, че условието позволяващо разпространението на оптичния лъч в сърцевината на влакното като резултат от последователно реализиращи се пълни вътрешни отражения е изпълнено, като ъгъла на падане на лъча върху обвивката е $\gamma$ . Да приемем също така, че дължината на влакното е $L$ .

д) Пресметнете пътя $S$ изминат от лъча преминавайки през влакното. [2 т.]

е) Пресметнете времето $t$ необходимо на лъча за да достигне другия край на влакното. Приемете, че скоростта на светлината във вакуум е $c$ . [1 т.]

Нека разгледаме дисперсионното разширение на оптичен импулс разпространяващ се във влакното. Оптичният импулс можем да разглеждаме като съвкупност от оптични моди. Всяка от модите можем да представим с оптичен лъч, който се разпространява в сърцевината на влакното по зигзагообразна траектория поради многократните вътрешни отражения на границата между сърцевината и обвивката. Дисперсионното разширение на импулса при преминаване през влакното можем да оценим чрез разликата във времената на преминаване на най-бавната (оптичен лъч изминал най-дълъг път) и най-бързата (оптичен лъч изминал най-къс път) моди.

ж) Получете оценка за дисперсионното разширение на импулса при преминаване през влакното. [2 т.]

Решение

а) Определете синуса на ъгъла на пречупване $\beta$ на падащия лъч в сърцевината на влакното. [1 точка]

От закона на Снелиус получаваме, че

n_0\sin\alpha = n_1\sin\beta \Rightarrow \sin\beta = \frac{n_0\sin\alpha}{n_1}

б) Пресметнете синуса на граничния ъгъл $\gamma_0$ на пълно вътрешно отражение за границата между сърцевината и обвивката на оптичното влакно. [1 точка]

От закона на Снелиус и в съответствие с дефиницията на явлението пълно вътрешно отражение получаваме, че синуса на ъгъла на пълното вътрешно отражение е $\sin\gamma_0 = \dfrac{n_2}{n_1} \approx 0{,}943$ .

\beta \le 90^0 - \gamma_0

\sin\beta \le \sin\beta_0 = \sin\left(90^0 - \gamma_0\right) = \cos\gamma_0 = \sqrt{1 - \sin^2\gamma_0} = \sqrt{1 - \left(\frac{n_2}{n_1}\right)^2}

Използувайки, че $n_0\sin\alpha = n_1\sin\beta$ получаваме

\sin\alpha = \frac{n_1\sin\beta}{n_0} \le \sin\alpha_{MAX} = \frac{n_1}{n_0}\sin\beta_0 = \frac{n_1}{n_0}\cos\gamma_0 = \frac{n_1}{n_0}\sqrt{1 - \left(\frac{n_2}{n_1}\right)^2} = \frac{1}{n_0}\sqrt{n_1^2 - n_2^2}

д) Пресметнете пътя $S$ изминат от лъча преминавайки през влакното.

S = s\frac{L}{l} = \frac{L}{\sin\gamma}

където $s$ и $l$ са хипотенузата и катета лежащ върху оптичната ос на влакното на правоъгълния триъгълник показан на Фиг.1. [2 точки]

е) Пресметнете времето $t$ необходимо на лъча за да достигне другия край на влакното. Приемете че скоростта на светлината във вакуум е $c$ .

t = \frac{S}{c/n_1} = \frac{L}{\left(c/n_1\right)\sin\gamma} = \frac{L n_1}{c\sin\gamma}

[1 точка]

ж) Получете оценка за дисперсионното разширение на импулса при преминаване през влакното. [2 точки]

Времето необходимо за преминаване през влакното на най-бавната мода (оптичен лъч изминал най-дълъг път) е

t_{MAX} = \frac{S_{MAX}}{c/n_1} = \frac{L}{\left(c/n_1\right)\sin\gamma_0} = \frac{L n_1}{c\sin\gamma_0} = \frac{L n_1^2}{c n_2}.

Това е оптичния лъч който пада на границата между обвивката и сърцевината под граничния ъгъл $\gamma_0$ .

Времето необходимо за преминаване през влакното на най-бързата мода (оптичен лъч изминал най-къс път) е

t_{MIN} = \frac{S_{MIN}}{c/n_1} = \frac{L}{\left(c/n_1\right)\sin\frac{\pi}{2}} = \frac{L n_1}{c}.

Това е оптичния лъч преминал по оста на сърцевината.

Оценка за дисперсионното разширение на импулса или разликата във времената на преминаване на най-бавната и най-бързата моди ще бъде:

\Delta t = t_{MAX} - t_{MIN} = \frac{L}{c}\frac{n_1\left(n_1 - n_2\right)}{n_2}.

Оригинал в Архива: proletni_2010_10problems.pdf · официални решения: proletni_2010_10solutions.pdf