Съдържание

НПСФ 2010, 11–12 клас — Задача 3. Мънисто върху тел

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НПСФ 2010

Национално пролетно състезание по физика 2010, Тема за 11 и 12 клас · 13 март 2010 г. · 10 т.

Условие

Гладка тел е огъната под формата на част от окръжност, както е показано на Фигура 3а. Уравнението на окръжността се задава като $\left(y-R\right)^2 + x^2 = R^2$ . На телта е намушено мънисто М (топче с дупка), което може да се хлъзга по телта с пренебрежимо малко триене.

Фигура 3а и Фигура 3б: мънистото и въртящата се тел.

а) Ако топчето първоначално е поставено на височина $y_0$ върху телта и се пусне да се хлъзга свободно по телта, то пресметнете скоростта на топчето, когато то се намира в най-ниската точка с координати $x = 0, y = 0$ [2т].

б) За предишната подточка определете проекциите $v_y$ и $v_x$ на скоростта на топчето като функция на координатата $y$ [4т].

в) Ако телта се върти равномерно в кръг около вертикалната ос Оу с ъглова скорост $\omega > \sqrt{\dfrac{g}{R}}$ (Фигура 3б), то намерете координатите $x_0$ и $y_0$ на устойчивото равновесно положение на топчето [4т].

Решение

а) Понеже няма триене между мънистото и телта, то енергията се запазва $\Rightarrow$

mgy_0 = \frac{mv^2}{2} + mgy \ \Rightarrow\ v = \sqrt{2g\left(y_0-y\right)}

$\Rightarrow$ за най ниската точка от пътя си ( $x = 0,\ y = 0$ ), топчето ще има скорост $v = \sqrt{2gy_0}$ [2т]

б) Скоростта $v$ на мънистото е винаги насочена по допирателната към телта, тоест допирателна към окръжността, която се дава с функцията $\left(y-R\right)^2 + x^2 = R^2$ $\Rightarrow$ можем да разложим $v$ на две компоненти $v_y$ и $v_x$ по следния начин:

v_y = v\sin\alpha

v_x = v\cos\alpha

Където $\sin\alpha = \dfrac{\sqrt{2Ry-y^2}}{R}$ и $\cos\alpha = \dfrac{R-y}{R}$ $\Rightarrow$

v_y = \sqrt{\frac{2g}{R^2}\left(y_0-y\right)\left(2Ry-y^2\right)} \quad \textbf{[2т]}

v_x = \frac{\left(R-y\right)}{R}\sqrt{2g\left(y_0-y\right)} \quad \textbf{[2т]}

в) Когато телта се върти, то енергията на топчето е:

E = mgy - \frac{m\omega^2x^2}{2} = mgy - \frac{m\omega^2}{2}\left(2yR-y^2\right)

Това е квадратично уравнение по $y$ и $\Rightarrow$ устойчивото равновесно положение е в минимума на параболата:

y_0 = R - \frac{g}{\omega^2},\quad \textbf{[2т]}

x_0 = \sqrt{2Ry_0 - {y^2}_0} = \sqrt{R^2 - \frac{g^2}{\omega^4}} \quad \textbf{[2т]}

Оригинал в Архива: proletni_2010_11-12problems.pdf · официални решения: proletni_2010_11-12solutions.pdf