Съдържание

Условие А. Параметри на първичния кръг Б. Параметри на вторичния кръг В) Преобразуване на напрежението (3 т.)Решение

НПСФ 2010, Специална тема — Задача 2. Трансформатор на Тесла

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НПСФ 2010

Национално пролетно състезание по физика, Пловдив, 13 - 14 март 2010 г. — Специална тема · 13 март 2010 г. · 10 т.

Условие

Трансформаторът на Тесла (вж. илюстрацията) е прост уред, с който може да се генерира променливо електрично напрежение с висока честота ( $10^3 - 10^6$ Hz) и голяма амплитуда ( $10^5 - 10^6$ V). Първоначално трансформаторът на Тесла е имал многобройни приложения – за излъчване на радиовълни, запалване на газоразрядни лампи и електротерапия в медицината. Днес уредът има повече историческа стойност и се използва за демонстриране на коронен газов разряд.

Оригиналната илюстрация на трансформатор на Тесла.

Устройството на трансформатора е показано на фиг. 1. Състои се от два трептящи кръга, чиито собствени честоти съвпадат. Първичният трептящ кръг е съставен от кондензатор с капацитет $C_1$ и намотка, която се състои от малък брой $N_1$ кръгови навивки. Първичната намотка обхваща вторична намотка, която представлява дълъг соленоид с голям брой $N_2$ ( $N_2 \gg N_1$ ) навивки. Единият край на вторичната намотка е заземен, а другият й край е свързан към метална сфера с радиус $R$ , чийто център се намира на височина $H$ над земната повърхност. Металната сфера и земната повърхност могат да се разглеждат като плочи на кондензатор, включен във вторичния трептящ кръг.

Фиг.1. Пълната схема на трансформатора на Тесла.

А. Параметри на първичния кръг

Известно е, че индуктивността на единична кръгова намотка се дава с израза:

L = \mu_0 r\left(\ln(r/a) - 0.230\right)

където $r$ е радиусът на средното сечение на намотката, а $a$ е радиусът на кръговото напречно сечение на проводника, от който е изработена намотката. Формулата е валидна, когато $r \gg a$ .

А1. Получете израз за индуктивността $L_1$ на намотка от $N_1$ кръгови навивки, разположени плътно една до друга. Приемете, че дебелината на намотката е много по-малка от нейния радиус: $N_1 a \ll r$ . [1,5 т.]

А2. Пресметнете числено индуктивността $L_1$ на първичната намотка, ако тя е съставена от $N_1 = 5$ навивки с радиус $r = 50$ cm, изработени от проводник с радиус на напречното сечение $a = 2$ mm. [0,5 т.]

А3. Колко трябва да бъде капацитетът $C_1$ на кондензатора от първичния трептящ кръг така, че собствената честота на кръга да бъде $\nu = 10\,\mathrm{kHz}$ ? [1 т.]

Б. Параметри на вторичния кръг

Вторичната намотка има дължина $l = 1,5$ m и е съставена от кръгови навивки с площ $S = 0.2$ m $^2$ . Приемете, че магнитното поле, създадено от тока във вторичната намотка, е еднородно.

Б1) Получете израз за индуктивността $L_2$ на вторичната намотка чрез $l$ , $S$ , $\mu_0$ и броя на навивките $N_2$ . [2 т.]

Б2) Ако приемете, че при електромагнитните трептения във вторичния кръг електрическите заряди се разпределят равномерно по повърхността на металната сфера, получете израз за капацитета $C_2$ на системата сфера–Земя чрез $R$ , $H$ и електричната константа $\varepsilon_0$ . Пресметнете числената стойност на $C_2$ при $R = 30$ cm и $H = 2.0$ m. [1,5 т.]

Б3) Колко навивки $N_2$ (с точност до цяло число) трябва да има вторичната намотка така, че собствената й честота на трептене да съвпада със собствената честота $\nu$ на първичната намотка? [0,5 т.]

В) Преобразуване на напрежението (3 т.)

Кондензаторът в първичната намотка е зареден от източник на високо постоянно напрежение с ЕДН $U_1 = 1000$ V, след което е изключен от източника и е включен към първичната намотка. В първичния кръг възникват електромагнитни трептения, чиято амплитуда постепенно намалява. Във вторичния кръг също възникват трептения, но тяхната амплитуда постепенно нараства във времето. Получете израз за максималната амплитуда $U_2$ на напрежението между сферата и Земята. Изразете отговора чрез $U_1$ и параметрите $N_1$ , $N_2$ , $r$ , $a$ , $l$ и $S$ на вторичната и на първичната намотки. Пресметнете числено $U_2$ .

Константи: $\varepsilon_0 = 8.85\times10^{-12}\,\mathrm{F/m}$ ; $\mu_0 = 4\pi\times10^{-7}\,\mathrm{H/m}$

Решение

А1) Единична кръгова навивка, по която тече ток $I$ , създава през напречното си сечение поток на магнитното поле:

\Phi_0 = \mu_0 r\left(\ln(r/a) - 0.230\right)I

Когато токът тече по $N_1$ плътно допрени навивки, потокът през всяка една от тях е $\Phi = N_1\Phi_0$ , а общият поток през всички тях:

\Phi_1 = N_1\Phi = N_1^2\mu_0 r\left(\ln(r/a) - 0.230\right)I \qquad \textbf{[1.0 т]}

Индуктивността на намотката е $L_1 = \Phi_1/I$ т.е.:

L_1 = N_1^2\mu_0 r\left(\ln(r/a) - 0.230\right) \qquad \textbf{[0.5 т]}

А2) След заместване с числените стойности намираме: $L_1 = 8.31\times10^{-5}\,\mathrm{H}$ [0.5 т]

А3) От връзката $\nu = 1/\left(2\pi\sqrt{L_1C_1}\right)$ намираме: $C_1 = \frac{1}{4\pi^2\nu^2 L_1}$ [1.0 т]

Б1) Магнитната индукция в дълъг соленоид е: $B = \mu_0\frac{N_2}{l}I$ [0.5 т]

Магнитният поток през единична навивка е: $\Phi = BS = \mu_0\frac{N_2 S}{l}I$ [0.5 т]

а през цялата намотка: $\Phi_2 = N_2\Phi = \mu_0\frac{N_2^2 S}{l}I$ [0.5 т]

Следователно индуктивността на вторичната намотка е: $L_2 = \mu_0\frac{N_2^2 S}{l}$ [0.5 т]

Б2) Електричното поле над Земята е суперпозиция от полето, създадено от заряда $+q$ върху сферата и полето, създадено от заряда-образ $-q$ . Ако приемем, че зарядът е разпределен равномерно върху сферата и $H \gg R$ , за потенциала в центъра на сферата получаваме:

\varphi = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 R} - \frac{q}{4\pi\varepsilon_0(2H)} = \frac{q(2H-R)}{8\pi\varepsilon_0 RH} \qquad \textbf{[1.0 т]}

Понеже потенциалът на земната повърхност е нула, напрежението между сферата и Земята е $U = \varphi$ , а капацитетът на системата сфера-Земя –

C_2 = \frac{q}{\varphi} = \frac{8\pi\varepsilon_0 RH}{(2H-R)} = 3.52\times10^{-11}\,\mathrm{F} \qquad \textbf{[0.5 т]}

Б3) За да съвпадат собствените честоти на двата кръга, е необходимо $L_2 = 1/\left((2\pi\nu)^2 C_2\right)$ , откъдето определяме броя на навивките във вторичната намотка:

N_2 = \frac{1}{2\pi\nu}\sqrt{\frac{l}{\mu_0 S C_2}} = 6549 \qquad \textbf{[0.5 т]}

В) При зареждането на кондензатора в него се натрупва енергия:

W = \frac{C_1U_1^2}{2}. \qquad \textbf{[0.5 т]}

След като кондензаторът е включен към първичната намотка, в първичния кръг възникват електромагнитни трептения, поради които във вторичната намотка се индуцира променлив ток. Постепенно енергията се предава от първичната във вторичната намотка, докато трептенията в първичната намотка затихнат. В този момент:

W = \frac{C_2U_2^2}{2}, \qquad \textbf{[0.5 т]}

където $U_2$ е амплитудата на променливото напрежение във вторичната намотка. От закона за запазване на енергията:

\frac{C_1U_1^2}{2} = \frac{C_2U_2^2}{2}. \qquad \textbf{[0.5 т]}

Следователно:

U_2 = U_1\sqrt{\frac{C_1}{C_2}}. \qquad \textbf{[0.5 т]}

Като вземем предвид, че честотите на двата кръга съвпадат, получаваме:

U_2 = U_1\sqrt{\frac{L_2}{L_1}} = U_1\frac{N_2}{N_1}\sqrt{\frac{S}{lr\left(\ln(r/a)-0.230\right)}} \approx 294\,\mathrm{kV} \qquad \textbf{[1.0 т]}

Оригинал в Архива: proletni_2010_STproblems.pdf · официални решения: proletni_2010_STsolutions.pdf