НПСФ 2010, Специална тема — Задача 2. Трансформатор на Тесла

Национално пролетно състезание по физика, Пловдив, 13 - 14 март 2010 г. — Специална тема · 13 март 2010 г. · 10 т.

Условие

Трансформаторът на Тесла (вж. илюстрацията) е прост уред, с който може да се генерира променливо електрично напрежение с висока честота ($10^3 – 10^6$ Hz) и голяма амплитуда ( $10^5 – 10^6$ V). Първоначално трансформаторът на Тесла е имал многобройни приложения – за излъчване на радиовълни, запалване на газоразрядни лампи и електротерапия в медицината. Днес уредът има повече историческа стойност и се използва за демонстриране на коронен газов разряд.

Устройството на трансформатора е показано на фиг. 1. Състои се от два трептящи кръга, чиито собствени честоти съвпадат. Първичният трептящ кръг е съставен от кондензатор с капацитет $C_1$ и намотка, която се състои от малък брой $N_1$ кръгови навивки. Първичната намотка обхваща вторична намотка, която представлява дълъг соленоид с голям брой $N_2$ ($N_2 \gg N_1$) навивки. Единият край на вторичната намотка е заземен, а другият й край е свързан към метална сфера с радиус $R$, чийто център се намира на височина $H$ над земната повърхност. Металната сфера и земната повърхност могат да се разглеждат като плочи на кондензатор, включен във вторичния трептящ кръг.

А. Параметри на първичния кръг

Известно е, че индуктивността на единична кръгова намотка се дава с израза:

$L = \mu_0 r\left(\ln(r/a) - 0.230\right)$

където $r$ е радиусът на средното сечение на намотката, а $a$ е радиусът на кръговото напречно сечение на проводника, от който е изработена намотката. Формулата е валидна, когато $r \gg a$.

Константи: $\varepsilon_0 = 8.85\times10^{-12}\,\mathrm{F/m}$; $\mu_0 = 4\pi\times10^{-7}\,\mathrm{H/m}$

А1. Получете израз за индуктивността $L_1$ на намотка от $N_1$ кръгови навивки, разположени плътно една до друга. Приемете, че дебелината на намотката е много по-малка от нейния радиус: $N_1 a \ll r$ . [1,5 т.]

А2. Пресметнете числено индуктивността $L_1$ на първичната намотка, ако тя е съставена от $N_1 = 5$ навивки с радиус $r = 50$ cm, изработени от проводник с радиус на напречното сечение $a = 2$ mm. [0,5 т.]

А3. Колко трябва да бъде капацитетът $C_1$ на кондензатора от първичния трептящ кръг така, че собствената честота на кръга да бъде $\nu = 10\,\mathrm{kHz}$? [1 т.]

Б1) Б. Параметри на вторичния кръг

Вторичната намотка има дължина $l = 1,5$ m и е съставена от кръгови навивки с площ $S = 0.2$ m$^2$. Приемете, че магнитното поле, създадено от тока във вторичната намотка, е еднородно.

Получете израз за индуктивността $L_2$ на вторичната намотка чрез $l$, $S$, $\mu_0$ и броя на навивките $N_2$. [2 т.]

Б2) Ако приемете, че при електромагнитните трептения във вторичния кръг електрическите заряди се разпределят равномерно по повърхността на металната сфера, получете израз за капацитета $C_2$ на системата сфера–Земя чрез $R$, $H$ и електричната константа $\varepsilon_0$. Пресметнете числената стойност на $C_2$ при $R = 30$ cm и $H = 2.0$ m. [1,5 т.]

Б3) Колко навивки $N_2$ (с точност до цяло число) трябва да има вторичната намотка така, че собствената й честота на трептене да съвпада със собствената честота $\nu$ на първичната намотка? [0,5 т.]

В) Преобразуване на напрежението

Кондензаторът в първичната намотка е зареден от източник на високо постоянно напрежение с ЕДН $U_1 = 1000$ V, след което е изключен от източника и е включен към първичната намотка. В първичния кръг възникват електромагнитни трептения, чиято амплитуда постепенно намалява. Във вторичния кръг също възникват трептения, но тяхната амплитуда постепенно нараства във времето. Получете израз за максималната амплитуда $U_2$ на напрежението между сферата и Земята. Изразете отговора чрез $U_1$ и параметрите $N_1$, $N_2$, $r$, $a$, $l$ и $S$ на вторичната и на първичната намотки. Пресметнете числено $U_2$. [3 т.]

Отговори

Решение

---

Оригинал в Архива: proletni_2010_STproblems.pdf · официални решения: proletni_2010_STsolutions.pdf