Съдържание

НПСФ 2011, 10. клас — Задача 2. Три резистора и лампа

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НПСФ 2011

Национално пролетно състезание по физика, Велико Търново, 26 – 27 февруари 2011 г. — Тема 10. клас · 26 февруари 2011 г. · 10 т.

Условие

Към източник с напрежение $U = 54\ \mathrm{V}$ са включени три резистора (съпротивлението $R = 90\ \Omega$ ) и една лампа, както е показано на фиг. 2. Лампата свети еднакво, както при отворен, така и при затворен ключ $K$ .

Електрическа схема: резистор 1 със съпротивление R вляво, резистор 2 със съпротивление 2R и резистор 3 със съпротивление R в средния клон, лампа между тях и ключ K в горния клон; долу е източникът U. — Фиг. 2 — веригата с резистори 1 ( $R$ ), 2 ( $2R$ ) и 3 ( $R$ ), лампата и ключа $K$ , захранвана с напрежение $U$ .

а) Начертайте еквивалентните схеми на електрическата верига при отворен и затворен ключ $K$ . [2 т.]

б) Определете напрежението $U_0$ между краищата на лампата. [6 т.]

в) Намерете съпротивлението $r$ на лампата. [2 т.]

Отговори

Решение

а) На фиг. 3 и фиг. 4 са показани еквивалентните схеми на електрическата верига при отворен и затворен ключ $K$ .[ 2 т.]

Еквивалентна схема при отворен ключ: резистор 1 (R) последователно с лампата в горния клон, резистор 2 (2R) в средния клон и резистор 3 (R) към източника U. — Фиг. 3 (решение) — еквивалентна схема при отворен ключ $K$ .

Еквивалентна схема при затворен ключ: резистор 1 (R) в горния клон, лампата успоредно на резистор 3 (R), резистор 2 (2R) в средния клон и източник U отдолу. — Фиг. 4 (решение) — еквивалентна схема при затворен ключ $K$ .

б) Според схемата на фиг. 3 напрежението между краищата на лампата е

U_0 = U_2 - U_1,\qquad \textbf{[0,5 т.]}

където напрежението върху втория резистор е

U_2 = \frac{R_2'}{R_2' + R_3}U.\qquad \textbf{[1 т.]}

Еквивалентното съпротивление $R_2'$ , свързано последователно на резистор 3, е

R_2' = \frac{R_2(R_1 + r)}{R_1 + R_2 + r} = \frac{2R(R + r)}{3R + r} = \frac{2x(x+1)}{3x+1}r,\qquad \textbf{[1 т.]}

където е използвано означението $x = R/r$ . Тогава за напрежението $U_2$ получаваме

U_2 = \frac{2(x+1)}{5x+3}U,\qquad \textbf{[0,5 т.]}

откъдето следва

U_1 = \frac{R_1}{R_1 + r}U_2 = \frac{2x}{5x+3}U,\qquad \textbf{[0,5 т.]}

U_0 = \frac{2}{5x+3}U.\qquad \textbf{[0,5 т.]}

Като използваме схемата от фиг. 4 и отчетем, че еквивалентното съпротивление на $R_3$ и лампата е последователно свързано с $R_2$ намираме

\frac{U - U_0}{U_0} = \frac{R_2}{R_3r/(R_3 + r)} = 2(x+1).\qquad \textbf{[1 т.]}

След като изразим $x$ от едното равенство и го заместим в другото имаме

U_0 = \frac{U}{9} = 6\ \mathrm{V}.\qquad \textbf{[1 т.]}

в) Като използваме получения резултат намираме $x = 3$ [1 т.], откъдето следва

r = \frac{R}{3} = 30\ \Omega.\qquad \textbf{[1 т.]}

Оригинал в Архива: proletni_2011_10problems.pdf · официални решения: proletni_2011_10solutions.pdf