Съдържание

НПСФ 2011, 10. клас — Задача 3. Топче на спица с две пружини

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НПСФ 2011

Национално пролетно състезание по физика, Велико Търново, 26 – 27 февруари 2011 г. — Тема 10. клас · 26 февруари 2011 г. · 10 т.

Условие

Топче с маса $m = 100\ \mathrm{g}$ е нанизано на хоризонтална гладка спица и е закачено към две пружини (хоризонтална и вертикална) в недеформирано състояние с коефициент на еластичност $k = 10\ \mathrm{N/m}$ . Дължината на пружините в недеформирано състояние е $l = 30\ \mathrm{cm}$ (фиг. 3). При отклонение на топчето на разстояние $x \ll l$ то започва да трепти хармонично.

Топче върху хоризонтална спица между две стени; пружина 1 го свързва с лявата стена, пружина 2 го окачва вертикално за тавана. — Фиг. 3 — топчето на хоризонталната спица, закачено за хоризонталната пружина 1 и вертикалната пружина 2.

Полезна приближена формула: $\sqrt{1 + x} \approx 1 + \dfrac{x}{2}$ при $x \ll 1$ .

а) Намерете периода на хармоничните трептения на топчето. [5 т.]

б) След това вертикалата пружина се заменя с друга, която има дължина в недеформирано състояние $l_0 < l$ и тя действа на топчето в равновесно положение с вертикална сила $f = 3\ \mathrm{N}$ (фиг. 4). При отклонение на топчето на разстояние $x \ll l$ то започва да трепти хармонично.

Топче върху хоризонтална спица; хоризонталната пружина 1 с коефициент k вляво, а опънатата вертикална пружина 2 дърпа топчето нагоре със сила f. — Фиг. 4 — същата уредба, но вертикалната пружина 2 е опъната и действа на топчето със сила $f$ .

Намерете периода на хармоничните трептения на топчето в този случай. [5 т.]

Отговори

Решение

а) При отклонение на топчето на разстояние $x \ll l$ хоризонталната пружина му действа с връщаща сила $F_1$ , а отклонената от вертикалата – със сила $F_2$ , насочена към точката на окачване (фиг. 5).

Топче отместено на разстояние x надясно по спицата; хоризонталната пружина с дължина l дърпа наляво със сила F1, а наклонената вертикална пружина дърпа към точката на окачване със сила F2. — Фиг. 5 (решение) — топчето, отклонено на $x$ от равновесното положение, и силите $F_1$ и $F_2$ .

По големина те са равни съответно на

F_1 = kx,\qquad F_2 = k\left(\sqrt{l^2 + x^2} - l\right) \approx k\frac{x^2}{2l}.\qquad \textbf{[1 т.]}

Силата $F_2$ може да бъде представена като сума на две сили – $F_2'$ , насочена към равновесното положение на топчето (връщаща сила) и $F_2''$ , перпендикулярна на спицата (тази сила определя реакцията на опората) [1 т.]. Тогава имаме

F_2' = F_2\frac{x}{\sqrt{l^2 + x^2}} \approx F_2\frac{x}{l} = kx\frac{x^2}{2l^2} = F_1\frac{x^2}{2l^2}\qquad \textbf{[1 т.]}

Резултантната връщаща сила е

F = F_1 + F_2' = F_1\left(1 + \frac{x^2}{2l^2}\right) \approx F_1 = kx.\qquad \textbf{[1 т.]}

Тогава периодът на хармоничните трептения на топчето е

T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} \approx 0{,}63\ \mathrm{s}.\qquad \textbf{[1 т.]}

б) Във втория случай се променя само силата $F_2$ , като сега

F_2 = k'\left(\sqrt{l^2 + x^2} - l_0\right) \approx k'(l - l_0) + k'\frac{x^2}{2l}.\qquad \textbf{[2 т.]}

Тогава връщащата сила е

F = F_1 + F_2\frac{x}{\sqrt{l^2 + x^2}} \approx \left(k + \frac{f}{l}\right)x\qquad \textbf{[2 т.]}

и за периода на хармоничните трептения в този случай намираме

T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{\left(k + \dfrac{f}{l}\right)}} \approx 0{,}45\ \mathrm{s}.\qquad \textbf{[1 т.]}

Оригинал в Архива: proletni_2011_10problems.pdf · официални решения: proletni_2011_10solutions.pdf