Съдържание

НПСФ 2011, Специална тема — Задача 1. Индуциран заряд върху сфери

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НПСФ 2011

Национално пролетно състезание по физика, Велико Търново, 26 февруари 2011 г. — Специална тема · 26 февруари 2011 г. · 10 т.

Условие

Част 1.

Две еднакви метални и незаредени сфери с радиус $R$ са свързани посредством прав, много тънък и дълъг проводник с дължина $L$ ( $L \gg R$ ). Системата от двете сфери с проводника се поставя в хомогенно електрично поле с големина $E$ така, че посоката на полето да е успоредна на правия проводник, както е показано на Фигура 1а. Намерете:

а) Заряда, който се индуцира върху лявата сфера. [1,5т] [1,5 т.]

б) Заряда, който се индуцира върху дясната сфера. [1,5т] [1,5 т.]

в) Ако външното поле стане мигновено нула, то намерете времето, за което зарядът на сферите ще намалее $e$ - пъти ( $e = 2,7182818$ е Неперовото число). Съпротивлението на проводника е $r$ . [2т] [2 т.]

Фигура 1а. Двете сфери и електричното поле.

Част 2.

Нека сега, вместо две, да имаме три последователно свързани сфери, центровете на които лежат на една права, която е успоредна на външното електрично поле $E$ , както е показано на Фигура 1б. Намерете:

г) Заряда, който се индуцира върху лявата сфера. [1т] [1 т.]

д) Заряда, който се индуцира върху дясната сфера. [1т] [1 т.]

е) Заряда, който се индуцира върху средната сфера. [1т] [1 т.]

Фигура 1б. Трите сфери, полето и двете разстояния L.

Част 3.

Нека сега имаме $N$ последователно свързани сфери, центровете на които лежат на една права, която е успоредна на външното електрично поле $E$ . Намерете:

ж) Заряда, който се индуцира върху крайните две сфери. [2т] [2 т.]

Упътване: при решаването на задачата пренебрегнете заряда, който се натрупва върху проводниците, свързващи сферите и считайте, че всяка една от сферите се зарежда хомогенно.

Решение

Част 1.

а) и б) Системата от двете сфери и проводника се явява еквипотенциална система, така че, поставена в електрично поле, на лявата сфера се натрупват отрицателни заряди $-q$ , а на дясната сфера - положителни заряди $q$ (от закона за запазване на зарядите $\Rightarrow$ зарядите са равни по големина) [0,5т].

Тъй като радиусът на сферите $R$ е много по-малък от разстоянието между сферите $L$ , то потенциалът, създаден от зарядите на всяка сфера не оказва влияние върху потенциала, създаден от зарядите на другата сфера [0,5т].

По упътване сферите са зареждат хомогенно $\Rightarrow$ потенциалът, създаден върху лявата сфера ще е като на точков заряд

\varphi_{\text{л}} = \frac{-q}{4\pi\varepsilon_0 R}

[0,5т].

аналогично на дясната сфера

\varphi_{\text{д}} = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 R}

[0,5т].

Потенциалната разлика трябва да се компенсира с потенциалната разлика, създадена от външното електрично поле $\Rightarrow$

EL = \frac{2q}{4\pi\varepsilon_0 R} \Rightarrow q = 2\pi\varepsilon_0 REL

[1т].

в) токът, който протича при спиране на външното електрично поле, можем да изразим като производна на заряда по времето

I = \frac{dq}{dt}

[0,5т].

От друга страна, от закона на Ом имаме

I = \frac{\varphi_{\text{д}} - \varphi_{\text{л}}}{r} = \frac{q}{r\,2\pi\varepsilon_0 R} \;\Rightarrow\; \frac{dq}{dt} = \frac{q}{r\,2\pi\varepsilon_0 R}

[0,5т].

$\Rightarrow$ зарядът на сферите ще намалее $e$ - пъти ( $e = 2,7182818$ е Неперовото число), когато:

\ln\left(\frac{q}{q/e}\right) = \frac{t}{r\,2\pi\varepsilon_0 R} \Rightarrow t = 2\pi\varepsilon_0 Rr

[1т].

Част 2.

г), д) и е) Когато имаме три сфери, от съображение на симетрия, зарядът в лявата и дясната сфера трябва да са равни по големина и противоположни по знак, докато средната сфера не трябва да е заредена [1т].

Отново потенциалът, създаден върху всяка от сферите, ще е като на точков заряд $\Rightarrow$

\varphi_{\text{л}} = \frac{-q}{4\pi\varepsilon_0 R}

[0,5т].

аналогично на дясната сфера

\varphi_{\text{д}} = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 R}

[0,5т].

E2L = \frac{2q}{4\pi\varepsilon_0 R} \Rightarrow q = 4\pi\varepsilon_0 REL

[1т].

Част 3.

ж) Тъй като се интересуваме само от заряда на двете крайни сфери, то задачата се решава аналогично.

Отново потенциалът, създаден върху всяка от крайните сфери, ще е като на точков заряд $\Rightarrow$

\varphi_{\text{л}} = \frac{-q}{4\pi\varepsilon_0 R}

аналогично на най-дясната сфера

\varphi_{\text{д}} = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 R}

Потенциалната разлика между първата и последната сфера трябва да се компенсира с потенциалната разлика, създадена от външното електрично поле $\Rightarrow$

E\left(N-1\right)L = \frac{2q}{4\pi\varepsilon_0 R} \Rightarrow q = 2\pi\varepsilon_0 REL\left(N-1\right)

[2т].

Оригинал в Архива: proletni_2011_STproblems.pdf · официални решения: proletni_2011_STsolutions.pdf · допълнителни данни: ST_spec.pdf