НПСФ 2011, Специална тема — Задача 2. Йо-йо
Национално пролетно състезание по физика, Велико Търново, 26 февруари 2011 г. — Специална тема · 26 февруари 2011 г. · 10 т.
Условие
Йо-йо е играчка, направена от два еднакви малки диска от пластмаса (метал, дървесина или други материали), свързани с ос, около която е навита еластична нишка (конец), завършваща с примка за пръста. Така получената макаричка се пуска надолу и сама се връща в ръката на играещия.
Част 1.
На Фигура 2а. е показано Йо-йо с външен радиус и вътрешен (на който се навива конеца) . Ако инерчният момент на Йо-йото спрямо оста му на симетрия е , а масата на Йо-йото е , то намерете:
а) Линейното ускорение , с което Йо-йото ще се движи, ако го пуснем свободно, но държим края на конеца така, че конецът да се развива. [3т] [3 т.]
б) Ако конецът е с дължина и е изцяло намотан на Йо-йото, то каква ще е крайната линейна скорост на центъра на масата на Йо-йото точно в момента, в който конецът изцяло се е развил от Йо-йото. [2т] [2 т.]
в) Каква ще е ъгловата скорост на Йо-йото за предишната подточка (подточка б). [1т] [1 т.]
Част 2.
Същото Йо-йо от предишната част на задачата е поставено на маса и конецът започва да се придърпва с хоризонтална сила надясно, както е показано на Фигура 2б, вследствие на която Йо-йото започва да се търкаля без хлъзгане. Намерете:
г) В каква посока ще се движи Йо-йото (наляво или надясно на чертежа) и посоката, в която ще се върти то (по часовниковата стрелка или обратно на часовниковата стрелка). Обосновете отговора си. [1т] [1 т.]
д) Ако силата не е хоризонтална, а сключва ъгъл с хоризонта (Фигура 2в), то при какъв критичен ъгъл Йо-йото ще обърне посоката си на движение и на въртене? Обосновете отговора си. [3т] [3 т.]
Решение
Част 1.
а) Има две сили, действащи на Йо-йото: сила на опън от страна на конеца и гравитационната сила (Фигура 1а.). Ускоряването на Йо-йото зависи от тези две сили:
[0,5т].
Въртеливото движение на Йо-йото се определя от въртящия момент, създаден от силата на опън T (въртящият момент на гравитационната сила е равен на нула):
[0,5т].
Връзката между ъгловото ускорение и линейното ускорение е
[1т].
Сега можем да изразим силата на опън от страна на конеца и ъгловото ускорение и тогава за линейното ускорение имаме:
[1т].
б) Имаме равноускорително движение без начална скорост с ускорение
[2т].
в) От връзката между ъгловата скорост и линейната скорост
[1т].
Част 2.
Анализът на Йо-йото е най-лесен, ако изчислявате въртящите моменти в точката на контакт между Йо-йото и масата. Тъй като силата на триене е приложена в точката на контакт, то тя не създава въртящ момент, въртящ момент има само силата .
г) Когато дърпаме конеца хоризонтално, въртящият момент спрямо точката на контакт е по часовниковата стрелка и Йо-Йото се движи надясно и по часовниковата стрелка. [1т]
д) За да видим какво се случва, когато дърпаме конеца под ъгъл , нека да продължим направлението на силата, докато достигне повърхността на масата. В случай, че удължаването е от лявата страна на точката на допир, както на Фигура 1б, въртящият момент е все още по часовниковата стрелка и Йо-йото все още се движи надясно и по часовниковата стрелка. В случай че продължението на силата минава през точката на контакт (Фигура 1в), въртящият момент става нула и Йо-йото спира да се търкаля. Ако продължението на силата мине отдясно на точката на допир (Фигура 1г), то въртящият момент е обратно на часовниковата стрелка и Йо-йото започва да се движи наляво и се върти обратно на часовниковата стрелка. [1т]
Критичният ъгъл лесно се определя от геометрията на Фигура 1в
[2т].
Оригинал в Архива: proletni_2011_STproblems.pdf · официални решения: proletni_2011_STsolutions.pdf · допълнителни данни: ST_spec.pdf