Съдържание

Условие Част 1.Част 2. (3 т.)Част 3. (3 т.)Решение

НПСФ 2011, Специална тема — Задача 3. Повърхностно напрежение

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НПСФ 2011

Национално пролетно състезание по физика, Велико Търново, 26 февруари 2011 г. — Специална тема · 26 февруари 2011 г. · 10 т.

Условие

Част 1.

Херметически затворен буркан е напълнен изцяло с вода. Освен водата, на дъното на буркана се намират и два малки въздушни мехура, както е показано на Фигура 3а. Двата мехура бавно се сливат и образуват един по-голям мехур, както е показано на Фигура 3б. Налягането на гърлото на буркана е $P_0$ , първоначалният радиус на двата мехура е $R_0$ , а коефициентът на повърхностно напрежение на водата е $\sigma$ . Считайки, че процесът на сливането на мехурите е изотермен, намерете:

а) Радиуса $R$ на новообразувалият се мехур. [1т] [1 т.]

б) Изменението на налягането при гърлото на буркана $\Delta P$ . [3т] [3 т.]

Упътване: Считайте, че размерите на мехурите са пренебрежимо малки в сравнение с размерите на буркана. Също така приемете, че водата е несвиваема, а въздухът в мехурите е идеален газ.

Фигура 3а. Двата мехура в затворения буркан.

Фигура 3б. Слетият мехур в същия буркан.

Част 2. (3 т.)

Два сапунени мехура, които се намират във въздух, имат радиуси $R_1$ и $R_2$ . Двата мехура се сливат бавно в един мехур с радиус $R_0$ . Считайки, че процесът на сливането на мехурите е изотермен, намерете коефициента на повърхностно напрежение $\sigma$ за сапунения разтвор, ако атмосферното налягане е $P_{at.}$ .

Упътване: Приемете, че въздухът в мехурите и извън него е идеален газ.

Част 3. (3 т.)

Две еднакви капки живак с радиус $R_0$ се намират при една и съща температура $T_0$ . Ако повърхностното напрежение на живака е $\sigma$ , топлинният му капацитет е $c$ , а плътността му е $\rho$ , то намерете температурата на капката живак, която се е образувала от сливането на двете капки. Пренебрегнете разширението на живака и топлообмена с околната среда.

Решение

Част 1.

а) Тъй като в условието на задачата е казано, че бурканът е изцяло напълнен с несвиваема вода и е херметически затворен, то общият обем няма как да се промени. Тогава общият обем на двата мехура е равен на обема на новообразувалия се мехур $\Rightarrow$

2\frac{4}{3}\pi R_0^3 = \frac{4}{3}\pi R^3 \Rightarrow R = R_0 2^{1/3}

[1т]

б) Нека да напишем условието за равновесие на мехурите преди да се слеят. Това условие е равенство на наляганията вътре и вън на мехурите:

P_{\text{мех}} = P_0 + \rho g h + \frac{2\sigma}{R_0}

[1т],

Тук $\rho g h$ е хидростатичното налягане на дъното на буркан с височина $h$ .

Тъй като газа в мехурчетата считаме за идеален, процеса на сливане за изотермен, а обемът не се променя, както показахме в предишната точка, то остава и налягането вътре в новообразувалия се мехур да не се променя $\Rightarrow$

P_{\text{мех}} = P_1 + \rho g h + \frac{2\sigma}{R}

[1т].

Тогава търсеното изменение на налягането при гърлото на буркана $\Delta P$ е:

\Delta P = P_1 - P_0 = \frac{2\sigma}{R_0} - \frac{2\sigma}{R} \Rightarrow \Delta P = \frac{2\sigma}{R_0}\left(1-\frac{1}{2^{1/3}}\right) \approx 0.4\frac{\sigma}{R_0}

[1т]

Част 2.

По време на сливането температурата на газа в мехурчетата не се променя, запазва се още и общата маса на газа от двата мехура $\Rightarrow$

m_0 = m_1 + m_2

[0,5т]

тук $m_0, m_1$ и $m_2$ са масите на газа в съответните мехури. От закона за идеален газ имаме:

m_i = \frac{P_i V_i \mu}{RT} \qquad i = 0,1,2

[0,5т]

тук $\mu$ е моларната маса на идеалният газ в мехурите. Условието за равновесие на мехурите е равенство на наляганията вътре и вън на мехурите:

P_i = P_{at.} + 2\frac{2\sigma}{R_i} \qquad i = 0,1,2

[0,5т]

където коефициентът 2 във втория член отчита, че сапуненият мехур има вътрешна и външна стена (за разлика от предишната част на задачата).

Обема на всеки мехур изразяваме от формула за обем на сфера:

V_i = \frac{4}{3}\pi R_i^3 \qquad i = 0,1,2

[0,5т]

Замествайки всичко в уравнението за масите $\Rightarrow$

\left(P_{at.} + \frac{4\sigma}{R_0}\right)R_0^3 = \left(P_{at.} + \frac{4\sigma}{R_1}\right)R_1^3 + \left(P_{at.} + \frac{4\sigma}{R_2}\right)R_2^3

Или, окончателно за коефициента на повърхностно напрежение $\sigma$ за сапунения разтвор имаме:

\sigma = \frac{P_{at.}}{4}\,\frac{R_0^3 - R_1^3 - R_2^3}{R_1^2 + R_2^2 - R_0^2}

[1т]

Част 3.

Тъй като се пренебрегва топлинното разширение на живака, то обемът се запазва

\Rightarrow 2\frac{4}{3}\pi R_0^3 = \frac{4}{3}\pi R^3 \Rightarrow R = R_0 2^{1/3}

[1т]

Намаляването на площта означава намаляване на енергията на повърхностното напрежение, която е за сметка на повишаването на температурата на новообразуваната капчица живак $\Rightarrow$

4\pi\sigma\left(2R_0^2 - R^2\right) = 2\rho\frac{4}{3}\pi R_0^3 c(T-T_0) \Rightarrow

[1т]

T = T_0 + \frac{3\sigma}{2\rho c R_0^3}\left(2R_0^2 - R^2\right) \Rightarrow T = T_0 + \frac{3\sigma}{2\rho c R_0}\left(2 - 2^{2/3}\right) \Rightarrow

[1т]

Оригинал в Архива: proletni_2011_STproblems.pdf · официални решения: proletni_2011_STsolutions.pdf · допълнителни данни: ST_spec.pdf