Съдържание

НПСФ 2012, Специална тема — Задача 1. Пирамида от цилиндри

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НПСФ 2012

Национално състезание по физика, Шумен, 11 април 2012 г. — Специална тема · 11 април 2012 г. · 10 т.

Условие

Три еднакви цилиндъра, подредени като пирамида върху хоризонтална повърхност; означени са радиусът r, масата m и земното ускорение g.

Три еднакви еднородни цилиндри, всеки с радиус $r$ и маса $m$ , са поставени върху хоризонтална повърхност и се допират един до друг, както е показано на фигурата. Земното ускорение е $g$ .

а) Нека няма триене на цилиндрите с повърхността и помежду им. Първоначално цилиндрите са в покой. Намерете ускоренията $a_1$ на горния и $a_2$ на страничните цилиндри в началния момент на тяхното движение. [2 т.]

б) Нека коефициентът $k$ на триене на цилиндрите с повърхността и помежду им е един и същ и е толкова голям, че цилиндрите остават в покой. Намерете интервалът от стойности на $k$ , когато това е възможно. [2 т.]

в) Нека коефициентът $k$ на триене на цилиндрите с повърхността и помежду им е един и същ и е такъв, че цилиндрите започват да се движат, като се хлъзгат помежду си и в повърхността. Намерете ускоренията $a_3$ на горния и $a_4$ на страничните цилиндри в началния момент на тяхното движение. [3 т.]

г) Намерете интервалът от стойности на $k$ , когато ситуацията от подусловие в) е възможна. [3 т.]

Отговори

Решение

Пирамида от три цилиндъра с нанесени сили N, R и mg и оси x, y. — Силите, действащи на горния цилиндър (1) и на десния цилиндър (2) при липса на триене — подусловие а).

а) Силите, действащи на горния цилиндър - (1) и десния цилиндър - (2), са нарисувани на фигурата. Очевидно ускорението $a_2$ е хоризонтално, докато от съображения за симетрия ускорението $a_1$ е вертикално. Следователно

mg - 2\frac{\sqrt{3}}{2}N = ma_1 \qquad (1.1)\quad \textbf{[0,25 т.]}

\frac{N}{2} = ma_2 \qquad (1.2)\quad \textbf{[0,25 т.]}

Тъй като цилиндрите се допират, при преместване на цилиндър 1 надолу на $\Delta y$ , цилиндър 2 се премества надясно на $\Delta x$ , като $\left(r+\Delta x\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}2r - \Delta y\right)^2 = \left(2r\right)^2$ [0,25 т.], откъдето $r^2 + 2r\Delta x + \Delta x^2 + 3r^2 - 2\sqrt{3}r\Delta y + \Delta y^2 = 4r^2$ . След пренебрегване на вторите степени на малките премествания и опростяване се получава $\Delta x = \sqrt{3}\Delta y$ . Следователно и $v_2 = \sqrt{3}v_1$ , откъдето и $a_2 = \sqrt{3}a_1$ [0,25 т.] (1.3). Замествайки (1.3) в (1.2) и решавайки системата уравнения (1.1) и (1.2), се получава $a_1 = \dfrac{g}{7}$ [0,5 т.] , $a_2 = \dfrac{\sqrt{3}g}{7}$ [0,5 т.].

б) след като цилиндрите са в покой, резултантната сила и въртящ момент, действащи на всеки един от тях, трябва да са нула. За цилиндър 1:

Пирамида от три цилиндъра с нанесени сили N, R, mg и сили на триене F1 и F2, и оси x, y. — Силите, действащи на цилиндрите при наличие на триене — подусловие б).

(по y) $mg - 2\dfrac{\sqrt{3}}{2}N - 2\dfrac{F_1}{2} = 0$ (1.4), $F_1 \le kN$ (1.5)

За цилиндър 2:

(по x) $\dfrac{N}{2} - \dfrac{\sqrt{3}}{2}F_1 - F_2 = 0$ [0,25 т.] (1.6), $F_2 \le kR$ (1.7),

(по y) $mg + \dfrac{\sqrt{3}}{2}N + \dfrac{F_1}{2} - R = 0$ [0,25 т.] (1.8), (няма въртене) $F_2.r - F_1.r = 0$ [0,25 т.] (1.9).

От (1.9) следва, че $F_1 = F_2 = F$ [0,25 т.]. Замествайки в (1.6) се получава $N = (2+\sqrt{3})F \le (2+\sqrt{3})kN$ (1.10) [0,25 т.], откъдето $k \ge \dfrac{1}{2+\sqrt{3}} \approx 0{,}268$ [0,5 т.]. Остава да се провери, че при такива стойности на $k$ е изпълнено и (1.7). Замествайки (1.10) в (1.8) се получава $mg + N = R$ , следователно, когато $F_1$ е сила на триене при покой, $F_2$ също е сила на триене при покой. [0,25 т.]

в) Използвайки чертежа от подусловие б), написваме уравненията за движение на цилиндрите 1 и 2:

(за 1 по y) $mg - 2\dfrac{\sqrt{3}}{2}N - 2\dfrac{F_1}{2} = ma_3$ (1.11) [0,25 т.]

(за 2 по x) $\dfrac{N}{2} - \dfrac{\sqrt{3}}{2}F_1 - F_2 = ma_4$ (1.12) [0,25 т.]

(за 2 по y) $mg + \dfrac{\sqrt{3}}{2}N + \dfrac{F_1}{2} - R = 0$ (1.13) [0,25 т.]

$F_1 = kN$ (1.14), $F_2 = kR$ (1.15), и кинематичното условие от подусловие а) $a_4 = \sqrt{3}a_3$ (1.16). (общо [0,25 т.])

Замествайки (1.14) в (1.11) се получава $N = \dfrac{m\left(g - a_3\right)}{k+\sqrt{3}}$ (1.17) [0,5 т.]. Замествайки (1.14), (1.15) и (1.16) в (1.12) и (1.13), след преобразувания се получава:

\left(1 - \sqrt{3}k\right)N - 2kR = m2\sqrt{3}a_3 \qquad (1.12\text{а})\quad \textbf{[0,5 т.]}

2kmg + k\left(k+\sqrt{3}\right)N - 2kR = 0 \qquad (1.13\text{а}).\quad \textbf{[0,5 т.]}

Изваждайки (1.13а) от (1.12а) и замествайки $N$ с израза от (1.17), след преобразования се получава

a_3 = g\,\frac{3k^2 + 4\sqrt{3}k - 1}{k^2 - 7} \qquad (1.18)\quad \textbf{[0,5 т.]}\quad \text{и} \quad a_4 = \sqrt{3}a_3 .

г) ускоренията $a_3$ и $a_4$ в подусловие в) са получени при допускане, че има хлъзгане както между цилиндрите, така и между цилиндрите и хоризонталната повърхност. Условието за хлъзгане между цилиндрите и хоризонталната повърхност е: $\varepsilon r < a_4$ (1.19) [0,5 т.], където $\varepsilon$ е ъгловото ускорение на цилиндър 2. То може да се получи от уравнението за въртеливото движение на цилиндър 2:

$F_2 r - F_1 r = I\varepsilon$ [0,25 т.] (1.20), където $I = \dfrac{1}{2}mr^2$ (инерчен момент на еднороден цилиндър). Използвайки (1.14), (1.15), (1.16) и (1.19), (1.20) се преобразува до

$k(R - N) < \dfrac{\sqrt{3}}{2}ma_3$ [0,25 т.] (1.20a). Замествайки (1.18) в (1.17) се получава

$N = \dfrac{2mg\left(k+\sqrt{3}\right)}{7 - k^2}$ (1.21) [0,25 т.]. Използвайки (1.13а), се получава $R = mg + \dfrac{k+\sqrt{3}}{2}N$ [0,25 т.], и оттам, отчитайки (1.21):

R - N = mg + \frac{\left(k+\sqrt{3}-2\right)}{2}\,\frac{2mg\left(k+\sqrt{3}\right)}{7-k^2}\qquad \textbf{[0,5 т.]}\ (1.22).

Замествайки (1.22) в (1.20а) и отчитайки (1.18), след преобразувания се получава неравенство за $k$ : $\left(7\sqrt{3}-4\right)k^2 + 4\left(8-\sqrt{3}\right)k - \sqrt{3} < 0$ (1.23) [0,5 т.]. Тъй като $k$ е положително, неравенството е изпълнено за $k \in \left(0, k_1\right)$ , където

k_1 = \frac{-2\left(8-\sqrt{3}\right) + \sqrt{17^2 - 4.17.\sqrt{3}}}{7\sqrt{3}-4} \approx 0{,}0676. \qquad \textbf{[0,5 т.]}

Оригинал в Архива: proletni_2012_STproblems.pdf · официални решения: proletni_2012_STsolutions.pdf